Yo estoy luchando para entender la prueba de que la normal cierre de un radical de la extensión de los campos es también una expansión radical, que es crucial, ya que nos permite trabajar con los radicales y normal extensiones (y por lo tanto, en el carácter 0, con radical extensiones de Galois).
La prueba de que estoy leyendo es lema 4.17 en la Rotman Avanzados de Álgebra Moderna, páginas 211-212, que adjunto al final de este mensaje.
La definición Rotman utiliza es la siguiente: una extensión de $F\subset F(u)$ es puro si no existe $m \geq 1$ tal que $u^m\in F$. Una extensión de $F\subset K$ es radical , si existe una torre (que me gusta llamar radical de la torre) $$F=K_0\subset K_1\subset \dots \subset K_t=K$$ such that $K_i\subconjunto K_{i+1}$ is pure for all $i$.
Lo que yo estoy luchando para demostrar que es: si $F\subset K$ es un radical de extensión, y $N$ es normal en el cierre de la extensión, $F\subset N$ es un radical de extensión.
Ya que me parece Rotman de la prueba confuso (y no es convincente), he reescrito la prueba. Podría parecer más que en apariencia, pero la primera parte de la prueba (el que me preocupa) fue insatisfactorio. Deje $m_{\alpha,F}$ el valor del polinomio mínimo de un elemento $\alpha$$F$.
La pregunta que hago es:
1) Es mi reescritura de la prueba correcta?
2) ¿Es esto lo que está detrás del argumento de Rotman, o hay otra, más simple manera de leer?
Rotman de la prueba parece más corta, pero no entiendo cuando dice: "de ello se sigue que $E=k(\sigma(u_1),\dots,\sigma(u_t):\sigma \in G)$": ¿cuáles son los $u_i$?
Aquí está mi reescritura:
Deje $F\subset K$ ser un radical de extensión. Existen $u_1,\dots,u_t$ tal que $$F\subset F(u_1)\subset F(u_1,u_2)\subset \dots \subset F(u_1,\dots,u_t) = K$$ is a radical tower. Let $E$ be the normal closure of $F\subconjunto K$. I claim that$$E=F\left(\{\sigma(u_i): \sigma \in \text{Gal}^E_F, i=1,\dots,t\}\right)$$
De hecho, $$E=\text{Split}_F\left(m_{u_1,F} \dots m_{u_t,F}\right)=F(\{\text{roots of }m_{u_1,F} \dots m_{u_t,F}\})$$
Desde el grupo de Galois de un polinomio actúa transitivamente sobre sus raíces, $\{\text{roots of }m_{u_i,F}\}=\{\sigma(u_i):\sigma \in \text{Gal}_F(m_{u_i,F})\}$. Veamos que también es igual a $\{\sigma(u_i):\sigma \in \text{Gal}^E_F\}$.
$(\subset)$: Podemos extender cada $\sigma\in \text{Gal}_F(m_{u_i,F})$ $\tilde{\sigma}\in \text{Gal}_F^E$por el teorema de extensión de un polinomio para su división de campo, tomando el polinomio $m_{u_1,F} \dots m_{u_t,F}\in F[X]$.
$(\supset)$: Si $\sigma\in \text{Gal}^E_F$, $\sigma$ restringe a un $F$-isomorfismo $F(u_i)\to F(\sigma(u_i))$, entonces (corolario 1.9 p.236 de Hungerford) $u_i$ $\sigma(u_i)$ debe ser raíces de un mismo polinomio irreducible en $F[X]$. Esto demuestra que $\sigma(u_i)$ es una raíz de $m_{u_i,F}$.
Deje $B_i=F\left(\{\sigma(u_j):1\leq j\leq i,\sigma \in\text{Gal}^E_F\}\right)$. Lo que acabamos de probar es que el $E=B_t$. A ver que $F\subset E= B_t$ es radical, hacemos uso de la inducción en $t$, y esta parte de Rotman de la prueba es satisfactorio para mí.
A continuación se Rotman de la prueba.
