Demostrando soluciones de un sistema de ecuaciones diferenciales satisfacen cierta ecuación

Question

Que $$ \left\{\begin{matrix} x'=x+y-xy^2\\ y'=-x-y+x^2y \end{matrix}\right $$ y $u(x,y)=x^2+y^2-2\ln|xy-1|.$

Demostrar que para cada solución satisfactoria $x(t)y(t)\neq 1$ existe un % constante $C$tal que $u(x(t),y(t))=C$ % todo $t\in\mathbb{R}$

He intentado añadir/restar las ecuaciones para lograr algo así como $$\frac{df(x,y)}{dt}=0$ $

y realmente no funcionó. Además, no veo otra manera de resolverlo.

¿Alguna sugerencia?

Answer 1

Indirecta: calcular el derivado de $u$ con respecto a los $t$.