Integral duro que CAS estándar totalmente equivocada

Question

Cómo resolver la siguiente integral:

$$\int_{-\infty }^{\infty }\exp \left ( i\left ( ax^3+bx^2 \right ) \right )dx$$

Estándar CAS parecen totalmente equivocado, consulte: http://www.walkingrandomly.com/?p=5031

Entonces, ¿qué es el derecho ansatz y su solución?

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No parece ser un problema con la forma en que esta se plantea una pregunta... que yo francamente no entiendo. Aclarar que he publicado esta pregunta de seguimiento:
En el que los sentidos pueden integral de existir?

Answer 1

La integral es un poco indefinido en mucho la misma manera que el sencillo integral $$ \int_{-\infty}^{\infty} e^{i a x}\,dx = 2\pi\delta(a) $$ se define sólo en el sentido de ser una distribución.

Para evaluar en algunos aceptable sentido, se denota por a $I$ y escribir $$ I = \int e^{i a x^3+i b x^2}\,dx = \int_0^\infty e^{i b x^2}(e^{i a x^3} + e^{-i a x^3})\,dx. $$ Considere la integral $$ J(a) = \int_0^\infty e^{i a x^3 + i b x^2}\,dx, $$ y deje $a$ tiene un resultado positivo de la parte imaginaria, lo que hace que $J$ convergen. Ahora se está expandiendo a $e^{i b x^2}$ en el poder de la serie y utilizando un CAS para evaluar las integrales que podemos obtener $$ J(a) = \sum_{n\geq0} \frac{(i b)^n}{n!} \int_0^\infty x^{2n}e^{i a x^3}\,dx = \sum_{n\geq0}\frac{(ib)^n}{n!}\frac{(-i a)^{-(1+2n)/3}}{3}\Gamma\left(\frac{1+2n}{3}\right). $$ La segunda integral que componen $I$$-a$, por lo que podemos evaluar $J(-a)$ dejando $a$ un resultado negativo a la parte imaginaria. Todo esto conduce a la $$ I = \sum_{n\geq0} \frac{(i b)^n}{n!}\frac{2}{3|a|^{(1+2n)/3}}\Gamma((1+2n)/3)\cos\left(\frac{(1+2n)\pi}{6}\right), $$ en el que se evalúa a $$ I = \frac{2\pi}{3^{1/3}|a|^{1/3}}e^{\frac{2i}{27}b^3/a^2}\mathop{\text{Ai}}\left(-\frac{b^2}{3^{4/3}|a|^{4/3}}\right), $$ donde $\text{Ai}$ es una función de Airy.