¿Un operador de extensión en espacios de Sobolev conmutar con los operadores de derivados?

Question

Suponga que $\Omega\subseteq \mathbb R^d$ es abierto y tiene un límite de Lipschitz. Deje $\tau\geq0$. Entonces sabemos que existe un operador lineal $E:H^\tau(\Omega)\to H^\tau(\mathbb R^d)$ tal que para todos los $u\in H^\tau(\Omega)$ hemos

$Eu = u$ ,$\Omega$,

$\|Eu\|_{H^\tau(\mathbb R^d)}\leq C_\tau \|u\|_{H^\tau(\Omega)}$,

donde $C_\tau$ es una constante independiente de $u$. La extensión de la misma $E$ funciona para todas las $\tau$. Esto fue demostrado por E. M. Stein, en 1971, por entero $\tau$ y por R. A. DeVore y de hormigón armado Sharpley en 1993 para el real $\tau$.

Ahora mi pregunta: Do $E$ $D^\alpha$ (débil operador de la derivada de orden $\alpha\in \mathbb N_0^d$$|\alpha|\leq \tau$) viaje? Esto significa que $$E(D^\alpha u) = D^\alpha(Eu),~~ for~ all~~ u\in H^{\tau}(\Omega)~~ and~~ |\alpha|\leq\tau.$$ Si no, ¿como alternativa extensión de probarse?

Muchas gracias por su atención de antemano.

Answer 1

Esto nunca puede suceder si $\Omega$ está acotada.

Como primera observación, la extensión de operador $E:H^\tau(\Omega)\to H^\tau(\mathbb R^n)$ no es única. Si $E$ es una extensión del operador con las propiedades deseadas y $\phi$ es un compacto admite un funcionamiento suave con $\phi\equiv1$$\Omega$, $Fu:=\phi Eu$ también satisface las propiedades deseadas. Es fácil comprobar que, al menos, $E$ $F$ no conmuta con débil derivadas parciales. Por lo tanto, la cuestión parece ser la de si hay una extensión de operador de desplazamientos con derivados. La respuesta es que todavía no.

Como segunda observación, hay diferentes extensión de los operadores de los diferentes órdenes de $\tau$. Permítanme reformular la pregunta (con la esperanza de que esto es lo que querías):

Deje $\Omega\subset\mathbb R^n$ ser un almacén de Lipschitz de dominio. Fijar un número entero $\tau>0$. ¿Existe una familia de extensión lineal de operadores $H^\sigma(\Omega)\to H^\sigma(\mathbb R^n)$, $0\leq\sigma\leq\tau$ así que

• $E^\sigma u=u$ $\Omega$ todos los $\sigma\leq\tau$,
• $\|E^\sigma u\|_{H^\sigma(\mathbb R^d)}\leq C_\sigma \|u\|_{H^\sigma(\Omega)}$ todos los $\sigma\leq\tau$, y
• $D^\alpha (E^\sigma u)=E^{\sigma-|\alpha|}(D^\alpha u)$ todos los $\sigma\leq\tau$?

No existe la familia de la extensión de los operadores, por lo que incluso el operador que se extiende en todos los grados no funciona.

Ahora vamos a $u(x)=1$ (una función constante). Desde $\Omega$ es acotado, tenemos $u\in H^\tau(\Omega)$. Ahora $D^\alpha u=0$ siempre $|\alpha|>0$. Por lo tanto $D^\alpha(E^{\tau}u)=E^{\tau-1}(D^\alpha u)=0$ siempre $|\alpha|=1$. Esto significa que el débil gradiente de $E^\tau u$ se desvanece en $\mathbb R^n$ y por lo tanto es constante. Esta función constante debe ser en $H^\tau(\mathbb R^n)\subset L^2(\mathbb R^n)$, por lo que debe ser idéntica a cero. Desde $E^\tau u=0$ en todo el espacio, tenemos $1=u=E^\tau u=0$$\Omega$. Esto es imposible.

Si reemplaza $\mathbb R^n$ con un bonito delimitada conjunto que contiene a $\Omega$, este argumento no es válido, y la cuestión se vuelve mucho más difícil.