Sobre la convergencia de $\cos(2\pi \alpha n!)$

Question

Que $x\in \mathbb R$

Demostrar que existe un $\alpha_x$ tales que converge la secuencia $\cos(2\pi \alpha_x n!)$ $\cos(x)$

He sido confundido con este problema por un tiempo. He estado buscando algunos $\alpha$ tal que % $ $$\forall n, 2\pi \alpha n! = x + 2\pi k_n + \epsilon_n$

donde $k_n$ es un número entero y $\epsilon_n$ una secuencia que va a $0$.

¿Alguien me puede ayudar construir el $\alpha$?

Answer 1

Sugerencia: %#% $ De #% deduce la distancia de $$ \frac{1}{e}=\sum_{n\geq 0}\frac{(-1)^n}{n!}=\sum_{n\geq 2}\frac{(-1)^n}{n!} $ el entero más cercano es $\frac{n!}{e}$, por lo tanto, $\leq\frac{1}{n}$ en la secuencia indicada en $\alpha=\frac{1}{e}$ converge a $\cos(2\pi\alpha n!)$.

Answer 2

Para cualquier $x \in \mathbb{R}$, tomar un $y \in [0,\pi]$ tal que $\cos x = \cos y$. Definir

$$\alpha = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n!}\left\lfloor \frac{y}{2\pi} n\right\rfloor$$

Para cualquier $N > 0$, tenemos $$\alpha N! = \underbrace{\sum_{n=1}^N \frac{N!}{n!}\a la izquierda\lfloor \frac{y}{2\pi} n\right\rfloor}_{\in \mathbb{Z}} + \frac{1}{N+1} \left\lfloor \frac{y}{2\pi} (N+1)\right\rfloor + \sum_{k=2}^\infty \frac{1}{\prod_{j=1}^{k-1} (N+j)}\left(\frac{1}{N+k}\left\lfloor \frac{y}{2\pi}(N+k)\right\rfloor\right) $$ Para el $2^{nd}$ plazo, es un número de cerca de $\frac{y}{2\pi}$. Más precisamente,

$$0 \le \frac{y}{2\pi} - \frac{1}{N+1}\left\lfloor \frac{y}{2\pi} (N+1)\right\rfloor < \frac{1}{N+1} < \frac{1}{N}$$ Para el $3^{rd}$ plazo, hemos enlazado

$$0 \le \sum_{k=2}^\infty \frac{1}{\prod_{j=1}^{k-1} (N+j)}\left(\frac{1}{N+k}\left\lfloor \frac{y}{2\pi}(N+k)\right\rfloor\right) \le \sum_{k=2}^\infty \frac{1}{(N+1)^{k-1}}\frac{y}{2\pi} = \frac{y}{2\pi N} < \frac{1}{2N} $$ Combinar estos dos límites, podemos concluir

$$\alpha N! = \beta_N + \frac{y}{2\pi} + \delta_N \quad\text{ donde }\quad \beta_N \in \mathbb{Z}\;\text{ y }\; -\frac{1}{N} < \delta_N < \frac{1}{2N}$$

Aplicar MVT a$\cos(t)$$t$$2\pi\alpha N!$$2\pi\beta_N + y$, nos encontramos con $$|\cos(2\pi\alpha N!) - \cos(y)| \le 2\pi|\delta_N| < \frac{2\pi}{N}$$

Como resultado, $$\lim_{N\to\infty} \cos(2\pi\alpha N!) = \cos y = \cos x$$