Dejemos que $S^n \rightarrow X$ ser una cobertura doble. ¿Es cierto que $X$ es homeomorfo a $\mathbb{R}\mathrm{P}^n$ ? Si es así, ¿cómo se demuestra?
Hay diferentes respuestas en las categorías de tipo homotópico, topológico, PL y colectores lisos. Empecemos por abajo y vayamos hacia arriba.
Supongamos que el finito $n$ -complejo CW de dimensiones $X$ tiene una cubierta de 2 pliegues homeomórfica a $S^n$ . El mapa $X \to \Bbb{RP}^\infty$ clasificar los factores del grupo fundamental a través de $\Bbb{RP}^n$ por aproximación celular. Retirar el haz universal restringido a $\Bbb{RP}^n$ seguimos obteniendo el mismo paquete en $X$ pero se obtiene un mapa equivariante $S^n \to S^n$ cuyo mapa inducido sobre el cociente es el mapa dado; nótese que la acción sobre la esfera en ambos casos es libre. Si este mapa fuera de grado 1, habríamos terminado: el mapa $f: X \to \Bbb{RP}^n$ induce claramente un isomorfismo en todos los grupos de homotopía hasta el grado $(n-1)$ la declaración de grado la implica en grado $n$ y se puede utilizar una forma (particularmente desagradable) del teorema de Hurewicz para concluir que el mapa es una equivalencia homotópica. Desgraciadamente no veo ninguna razón particular para creer que es de grado 1; sin embargo, se puede modificar un "mapa inverso" de $\Bbb{RP}^{n-1}$ en la celda de grado superior de modo que sea una equivalencia homotópica; los detalles se encuentran en "Surgery on compact manifolds" de Wall. A la inversa, un colector homotópico equivalente a $\Bbb{RP}^n$ es el cociente de una homotopía $S^n$ por algunos $\Bbb Z/2$ acción.
De hecho, la clasificación de $n$ -homotopía equivalente a $\Bbb{RP}^n$ pero no (homeomorfo, PL homeomorfo, difeomorfo) es la misma que la clasificación de libre $\Bbb Z/2$ acciones sobre (posiblemente exóticas) $S^n$ del tipo apropiado hasta el tipo apropiado de equivalencia (homeomorfismo equivariante, difeomorfismo, etc.).
TOP/PL/Smooth. Todos ellos coinciden en las dimensiones hasta 3. Es clásico entonces que sólo haya $\Bbb{RP}^2$ y un corolario de la prueba de Perelman de la conjetura de eliptización dice que sólo hay $\Bbb{RP}^3$ en dimensión 3. En dimensión 4, PL = Liso, pero hay 4manifolds no lisos, y la mayoría de los 4manifolds topológicos admiten muchas estructuras lisas distintas. En dimensión 4 hay exactamente dos variedades homotópicas equivalentes a $\Bbb{RP}^4$ hasta el homeomorfismo; una no es suavizable. Véase Hambleton-Kreck-Teichner Hasta el difeomorfismo (incluso cuando la cubierta universal es difeomorfa a $S^4$ ) esto todavía está abierto, pero hay algunas estructuras lisas no equivalentes en $\Bbb{RP}^4$ con cubierta universal conocida por ser estándar. No sé si todavía hay infinitas. Probablemente no.
En dimensiones al menos $5$ esto se responde con la teoría de la cirugía. Wall tiene una descripción completa en su libro para PL $\Bbb{RP}^n$ s; sospecho que sólo hay un pequeño cambio respecto a la configuración topológica. (Realmente no quiero descifrar su notación y calcular el número de $\Bbb{RP}^n$ s en cada grado. Es finito, excepto en las dimensiones equivalentes a $3 \mod 4$ .) Su libro también proporcionará una buena referencia sobre lo que se conoce sin problemas en altas dimensiones y dónde buscar.
En realidad, en el segundo párrafo $X$ sólo tiene que ser un complejo CW finito con una homotopía de doble cobertura equivalente a $S^n$ .
Gracias por la respuesta detallada. Tengo dos preguntas más: En primer lugar, no entendí muy bien cómo exactamente la pregunta si hay espacios homotopía equivalente pero no isomorfo a $\mathbb{R}\mathrm{P}^n$ (en alguna categoría) se relaciona con la cuestión original de las coberturas por $S^n$ . En segundo lugar, ¿ves alguna forma de obtener un homeomorfismo (no sólo una equivalencia de homotopía) entre $X$ y $\mathbb{R}\mathrm{P}^n$ en el escenario de CW?
@RobinStoll No, simplemente no es cierto entonces. Si $X \simeq \Bbb{RP}^n$ y $X$ es una variedad, entonces su cubierta universal es equivalente en homotopía a $S^n$ y es una colector, pero gracias a la conjetura de Poincare ahora resuelta en todas las dimensiones, la cubierta universal debe ser homeomorfa a $S^n$ . Todos estos falsos $\Bbb{RP}^n$ s se pueden dar estructuras CW.
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Deberías consultar el libro "Involuciones en Múltiples" de López de Medrano. Recuerdo que tiene una discusión detallada de las involuciones libres en esferas de dimensión $\ge 5$ pero no recuerdo en qué categoría: Liso o topológico. Si se trabaja en la categoría lisa, habrá ejemplos que no son difeomorfos a la norma $RP^n$ (al menos en la dimensión 4 - Fintushel-Stern y Capell-Shaneson, y, muy probablemente, en todas las dimensiones superiores).