Curva periódica cerrada

Question

Deje $\textbf{$\gamma$}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^n$ ser una curva suave y deje $T \in \mathbb{R}$. Decimos que $\textbf{$\gamma$}$ $T$- periódico si $$\textbf{$\gamma$}(t+T)=\textbf{$\gamma$}(t) \text{ for all } t \in \mathbb{R}.$$ Si $\textbf{$\gamma$}$ no es constante y es $T$-periódico para algunos $T\neq 0$, $\textbf{$\gamma$}$ se dice que ser cerrado.

El período de una curva cerrada $\textbf{$\gamma$}$ es el número positivo menor que $T$ tal que $\textbf{$\gamma$}$ $T$- periódico.

Una curva de $\textbf{$\gamma$}$ se dice que tiene una auto-intersección en un punto de $p$ de la curva, si existen valores de parámetro $a\neq b$ tal que

• $\textbf{$\gamma$}(a) = \textbf{$\gamma$}(b) = p$, y
• si $\textbf{$\gamma$}$ es cerrado con un período de $T$, $a-b$ no es un múltiplo entero de $T$.

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Estoy mirando el siguiente ejercicio:

Mostrar que la Cayley sextic $$\textbf{$\gamma$}(t) = \left (\cos^3t \cos {3t}, \cos^3t \sin {3t}\right ), t \in \mathbb{R}$$ es una curva cerrada que tiene exactamente una auto-intersección. ¿Cuál es su período?

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He hecho lo siguiente:

Desde $\textbf{$\gamma$} (0)=(1,0)$ $\textbf{$\gamma$}\left (\frac{\pi}{6}\right )=\left (0, \frac{\sqrt{3}}{2}\right )$, es decir, $\textbf{$\gamma$} (0)\neq \textbf{$\gamma$} \left (\frac{\pi}{6}\right )$ tenemos que $\textbf{$\gamma$}$ no es constante.

Tenemos que $$\cos (t+2\pi )=\cos t , \ \ \cos (3(t+2\pi ))=\cos (3t) , \ \ \sin (3(t+2\pi ))=\sin (3t)$$ así que, a continuación, $$\textbf{$\gamma$}(t+2\pi ) = \left ((\cos (t+2\pi ))^3 \cos {[3(t+2\pi )]}, (\cos (t+2\pi ))^3 \sin {[3(t+2\pi )]}\right )=\left (\cos^3t \cos {3t}, \cos^3t \sin {3t}\right )=\textbf{$\gamma$}(t), \forall t$$

Eso significa que el incumplimiento constante de la curva de $\textbf{$\gamma$}$ $2\pi$- periódico.

Por eso, $\textbf{$\gamma$}$ es una curva cerrada.

Es esto correcto?

Es $2\pi$ el periodo? Es este el menor número positivo $T$ tal que $\textbf{$\gamma$}$ $T$- periódico? ¿O es que el período de cambio cuando tenemos $\cos 3t$ $\sin 3t$ en lugar de $\cos t$$\sin t$ ?

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EDITAR:

Tenemos que $$\textbf{$\gamma$}\left (\frac{\pi}{3}\right )=\left (-\frac{1}{8}, 0 \right ) \\ \textbf{$\gamma$}\left (\frac{2\pi}{3}\right )=\left (-\frac{1}{8}, 0\right )$$

Así, cuando tomamos $p=\left (-\frac{1}{8}, 0\right )$ tenemos que $\textbf{$\gamma$}\left (\frac{\pi}{3}\right )=\textbf{$\gamma$}\left (\frac{2\pi}{3}\right )=\left (-\frac{1}{8}, 0\right )$

Ya que el periodo es$\pi$,$\frac{2\pi}{3}-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{3}=\frac{1}{3}(\pi)$, es decir, $\frac{2\pi}{3}-\frac{\pi}{3}$ no es un múltiplo entero de la época.

Eso significa que $\gamma$ tiene un auto-intersección de a $p=\left (-\frac{1}{8}, 0\right )$.

Ahora queremos demostrar que esta auto-intersección es único.

Para hacer lo que desean para encontrar todos los puntos de $x,y$ dentro de un período de $[0,\pi]$ tal que $\gamma(x)=\gamma(y)$. Que es, encuentra todas las soluciones del sistema simultánea $$ \begin{align*} \cos^3(x) \cos(3x)&=\cos^3(y) \cos(3y) \\ \cos^3(x) \sin(3x)&=\cos^3(y) \sin(3y). \end{align*} $$

$$\frac{\cos^3(x) \cos(3x)}{\cos^3(x) \sin(3x)}=\frac{\cos^3(y) \cos(3y)}{\cos^3(y) \sin(3y)} \Rightarrow \frac{ \cos(3x)}{\sin(3x)}=\frac{ \cos(3y)}{ \sin(3y)} \\ \Rightarrow \cot (3x)=\cot (3y) \Rightarrow 3x=3y+k\pi \Rightarrow x=y+\frac{k}{3}\pi$$

Ya que el periodo es $\pi$, los únicos valores posibles para $k$ $k=0$, $k=1$ y $k=2$.

Para $k=0$ tenemos $3x=3y \Rightarrow x=y$. Pero para $x=y$ la segunda condición de la definición de un auto-intersección no está satisfecho.

Así, por $k=1,2$ tenemos que $3x=3y+k\pi \Rightarrow x=y+\frac{k\pi}{3}$.

La primera condición de la definición está satisfecho con cada uno de estos valores.

En cuanto a la segunda definición queremos que $x-y=\frac{k\pi}{3}$ no es un múltiplo entero de $\pi$, que también está satisfecho con cada uno de estos valores de $k$.

Así que queremos de alguna manera para mostrar que los puntos que se obtiene esta relación se $\frac{\pi}{3}$$\frac{2\pi}{3}$, o no?

Pero, ¿cómo? No tengo idea...

Answer 1

Sólo mediante trigonometría:

$T = \pi$

ver esto computación $\gamma(0) = (1,0) = \gamma(T)$

Resolver esta usando el segundo componente en primer lugar, para $$0 = \textrm{sin}(3T)\textrm{cos}^3(T)$$ A continuación,$T = n \pi/3$, Hacer la misma cosa para el primer componente y debe tener $n$ es un múltiplo de 3. De hecho, este es suficiente para todos $t$, $\gamma(t+T) = \gamma(t)$.

La norma del vector a es $|\gamma(t)| = \cos^6(t)$ así que para tener una intersección debemos tener $\cos^6(t) = \cos^6(s)$ o en otras palabras $s = \pi - t$ en este intervalo de $[0,\pi]$ Esta condición para que la intersección está satisfecho por el primer componente fácilmente, sino que lleva a la siguiente para el segundo componente: $$\cos^3(t) \sin (3t) = -\cos^3(t) \sin (3t)$$ or in other words $$0 =\cos^3(t) \sin (3t) $$ La única manera posible de las intersecciones son, a continuación, en $t = {0, \pi/3, \pi/2, 2\pi/3}$ Deje $t<s$ desde arriba, a continuación, usted debe tener $t =0$ o $t = \pi/3$. Pero $t=0$ conduce a un caso de degeneración por lo $t = \pi/3$$s = 2\pi/3$. Que se puede comprobar con la sustitución directa.

Así $\gamma(\pi/3) = \gamma(2\pi/3)$ es la única intersección.

Answer 2

El período de $2\pi$ no es correcto. Vamos a complejizar $\gamma(t)=(x(t),y(t))$$x(t)+iy(t)$: $$ \gamma=\cos^3(t)e^{i3t}=(\cos(t)e^{it})^3=\Bigl(\frac{e^{it}+e^{-it}}{2}e^{it}\Bigr)^3=\Bigl(\frac{z^2+1}{2}\Bigr)^3 $$ donde $z=e^{it}$. La curva depende sólo de $z^2$ $\pi$ periódico, por lo tanto, el período es en la mayoría de las $\pi$. Es fácil ver que es $\pi$ desde $\zeta=\frac{z^2+1}{2}$ corre a lo largo del pequeño círculo con el centro en $1/2$ y radio de $1/2$, por lo que para obtener el valor inicial $\zeta^3=\gamma=1$ nuevo que necesita para hacer el bucle que corresponde a $t=\pi$.

Auto-intersección es acertó. Asimismo, se puede concluir sin encontrarlo explícitamente como función de $\zeta^3$ no es univalentes función dentro del pequeño círculo que se mencionó anteriormente.

Answer 3

Hemos tenido la misma pregunta hace un par de días (Encontrar la auto-interection.La Geometría Diferencial). Estoy ampliando mi aceptado respuesta para una solución completa.

Escribe tu curva en forma $$\gamma: \quad t\mapsto z(t):=x(t)+iy(t)={1\over8}(e^{it}+e^{-it})^3\>e^{3it}\ .$$ Sustituyendo $t:={u\over2}$ obtenemos, después de un cálculo simple, la parametrización de la $$\gamma:\quad s\mapsto{1\over8}\bigl(1+e^{iu}\bigr)^3 \qquad(u\in{\mathbb R})\ .$$ Esto muestra ya que en términos de la variable original $t$ el período es en la mayoría de las $\pi$.

En el fin de encontrar posibles doble de puntos (o incluso un período menor), tenemos que investigar en detalle para que pares de $(u,v)$ $$0\leq u<v<2\pi\tag{1}$ $ la ecuación $$\bigl(1+e^{iu}\bigr)^3=\bigl(1+e^{iv}\bigr)^3$$ es cierto. Esta ecuación se satisface iff $1+e^{iu}$ $1+e^{iv}$ coinciden hasta un tercio de la raíz de la unidad. El caso de $1+e^{iu}=1+e^{iv}$ da ninguna solución dentro de los límites $(1)$. Por lo tanto, queda por examinar los casos $${\rm(a)}\quad 1+e^{iu}=\omega\bigl(1+e^{iv}\bigr),\qquad{\rm(b)}\quad 1+e^{iu}=\bar\omega\bigl(1+e^{iv}\bigr)\ ,$$ donde $\omega:=e^{2\pi i/3}$, que es el mismo que $${\rm(a)}\quad \cos{u\over2}=\omega e^{i(v-u)/2}\>\cos{v\over2},\qquad {\rm(b)}\quad \cos{u\over2}=\bar\omega e^{i(v-u)/2}\>\cos{v\over2}\ .\tag{2}$$ En caso de que (a) queremos $\omega e^{i(v-u)/2}\in{\mathbb R}$ dentro de los límites $(1)$. Esto sólo puede ser hecho con ${v-u\over2}={\pi\over3}$, e $(2)$(a) implica entonces $\cos{u\over2}=-\cos{v\over2}$. El par $u={2\pi\over3}$, $v={4\pi\over3}$ es el único que satisface estas condiciones, y da lugar a un doble punto de $z_*$ de nuestra curva, es decir, $$z_*={1\over8}\bigl(1+e^{2\pi i/3}\bigr)^3=-{1\over8}\ .$$

En el caso (b) queremos que $\bar \omega e^{i(v-u)/2}\in{\mathbb R}$ dentro de los límites $(1)$. Esto sólo puede ser hecho con ${v-u\over2}={2\pi\over3}$, e $(2)$(b) implica entonces $\cos{u\over2}=\cos{v\over2}$. La última ecuación no es válido dentro de los límites $(1)$.