Suma Trig: $\tan ^21^\circ+\tan ^22^\circ+\cdots+\tan^2 89^\circ = \text{?}$

Question

Como sugiere el título, estoy tratando de encontrar la suma $$\tan^21^\circ+\tan^2 2^\circ+\cdots+\tan^2 89^\circ$$ Busco una solución que no implique números complejos, ni ninguna otra rama avanzada de las matemáticas. La solución puede implicar técnicas como inducción, telecopia, etc, pero preferiblemente sólo ideas de pre-cálculo, por ejemplo, identidades trigonométricas, polinomios, etc.

EDIT: Sé que la suma es un número racional.

Answer 1

En Suma de funciones tangentes cuyos argumentos están en series aritméticas específicas ,

$$\tan180x=\frac{\binom{180}1t-\binom{180}3t^3+\cdots+\binom{180}{177}t^{177}-\binom{180}{179}t^{179}}{1-\binom{180}2t^2+\cdots-\binom{180}{178}t^{178}+\binom{180}{180}t^{180}}$$ donde $t=\tan x$

Si fijamos $\tan180x=0,180x=180^\circ r$ donde $r$ es cualquier número entero

$\implies x=r^\circ$ donde $0\le r<180$

Por lo tanto, las raíces de $\binom{180}1t-\binom{180}3t^3+\cdots+\binom{180}{177}t^{177}-\binom{180}{179}t^{179}=0$ $\iff\binom{180}{179}t^{179}-\binom{180}{177}t^{177}+\cdots+\binom{180}3t^3-\binom{180}1t=0$ son $\tan r^\circ$ donde $0\le r<180,r\ne90$ ( $r=90$ corresponde al denominador $=\infty$ )

Por lo tanto, las raíces de $\binom{180}{179}t^{178}-\binom{180}{177}t^{176}+\cdots+\binom{180}3t^2-\binom{180}1=0$ son $\tan r^\circ$ donde $0<r<180,r\ne90$

Por lo tanto, las raíces de $\binom{180}{179}u^{89}-\binom{180}{177}u^{88}+\cdots+\binom{180}3u-\binom{180}1=0$ son $\tan^2r^\circ$ donde $0<r<90$

Usando la fórmula de Vieta, $\sum_{r=1}^{89}\tan^2r^\circ=\dfrac{\binom{180}{177}}{\binom{180}{179}}$

Answer 2

La función $$ \frac{180/z}{z^{180}-1} $$ tiene residuo $1$ en cada raíz de $z^{180}-1$ $\left(\text{i.e. }e^{k\pi i/90}\text{ for }k=0\dots179\right)$ y residuos $-180$ en $z=0$ .

En $|z|=1$ , $$ \tan(\theta/2)=-i\frac{z-1}{z+1} $$ Integración de $$ f(z)=-\left(\frac{z-1}{z+1}\right)^2\frac{180/z}{z^{180}-1} $$ alrededor de un círculo grande es $0$ ya que el integrando es aproximadamente $|z|^{-181}$ . Así, la suma de los residuos es $$ 2\sum_{k=0}^{89}\tan^2\left(\frac{k\pi}{180}\right)+\operatorname*{Res}_{z=0}f(z)+\operatorname*{Res}_{z=-1}f(z)=0 $$ Desde $\operatorname*{Res}\limits_{z=0}f(z)=180$ y $\operatorname*{Res} \limits_{z=-1}f(z)=-\frac{32402}{3}$ obtenemos $$ \begin{align} \sum_{k=0}^{89}\tan^2\left(\frac{k\pi}{180}\right) &=\frac12\left(\frac{32402}{3}-180\right)\\ &=\frac{15931}{3} \end{align} $$

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Este mismo método también da $$ \sum_{k=0}^{89}\tan^4\left(\frac{k\pi}{180}\right)=\frac{524560037}{45} $$ y $$ \sum_{k=0}^{89}\tan^6\left(\frac{k\pi}{180}\right)=\frac{4855740968543}{135} $$