Como γ se utiliza generalmente para las curvas, voy a estar usando Γ Γ′ para el fuschian grupos y p p′ el correspondiente cubriendo los mapas.
a) Dejar que los dos grupos se conjugado por una función de h i.e hΓh−1=Γ′. Definir f(x)=h(y) algunos y∈p−1(x). Vamos a comprobar que esto está bien definido. Que se debe comprobar la p(y)=p(y′) p′(h(y))=p′(h(y′)). p(y)=p(y′) implica que y′=g(y) para algunos g∈Γ. h∘g∘h−1=g′∈Γ′ lo que implica que h∘g=g−1∘h. h(y′)=h(g(y))=g′(h(y)) por lo tanto p′(h(y))=p′(h(y′)).
Este mapa es claramente un local de isometría. La suposición de que f es ni inyectiva(surjective) implicará una declaración similar para h, una contradicción. Por lo tanto f es bijective.
Para probar la parte b) voy a utilizar los siguientes resultados estándar de cubrir el espacio de la teoría(c.f Hatcher: topología Algebraica)
1) Para un punto fijo z0∈p−1(x0) (p es la parte que cubre el mapa) el conjunto de Γ corresponde uno a uno a p−1(x0) través g∈Γ↔g(z0)∈p−1(x0).
2) Para un punto fijo z0∈p−1(x0) el grupo de la cubierta transformaciones Γ π1(H/Γ,x0) son isomorfos. El isomorfismo es: un elemento γ∈π1(H/Γ,x0) es enviado a la cubierta de transformación tal que z0↦˜γ(1).(˜γ denota el ascensor de γ).
b)Si S S′ son isométrica, la isometría se f. Revisión de los puntos de x0∈S, y0∈p−1(x0), x1∈S′ y y1∈p′−1(x1). Esto induce un mapa de ˜f H a sí mismo de la siguiente manera: Considere cualquier punto de y∈H y tome una curva de γ∈π1(S,x0) de manera tal que la elevación de partida en y0 termina en y. Definir ˜f(y):=˜α(1)) donde α=f∘γ. Esto, claramente, un local isometría como usted dijo. Voy a demostrar que es bijective también.
Primero voy a demostrar que es inyectiva. Supongamos ˜f(z)=˜f(z′)=y. Deje p(z)=x ˜γ ser cualquier curva dezz′γ:=˜γ. Ahora, f(γ)∈π1(S′,f(x)) ~f(γ) empieza y termina en y por lo tanto f(γ) es la identidad en π1(S′,f(x)). Pero un homeomorphism entre dos espacios induce un isomorfismo entre sus grupos fundamentales. Por lo tanto γ tiene que ser de identidad, lo que implica que x=x′.
Surjectivity:Considere una y∈H. Si x=p′(y) entonces existe al menos un y′∈p−1(x) tal que y′=˜f(z) algunos z, ya que de lo contrario x no va a ser la imagen de f. Arreglar esto y′. Tomar un elemento γ′∈π1(S′,x) tal que ~γ′(1)=y. Si γ se define como f−1(γ′)˜f(˜γ(1))=y.
Perdón si he hecho algún tonto error.
