Como $\gamma$ se utiliza generalmente para las curvas, voy a estar usando $\Gamma$ $\Gamma'$ para el fuschian grupos y $p$ $p'$ el correspondiente cubriendo los mapas.
a) Dejar que los dos grupos se conjugado por una función de $h$ i.e $h\Gamma h^{-1}= \Gamma'$. Definir $f(x)=h(y)$ algunos $y\in p^{-1}(x)$. Vamos a comprobar que esto está bien definido. Que se debe comprobar la $p(y)=p(y')$ $p'(h(y))=p'(h(y'))$. $p(y)=p(y')$ implica que $y'=g(y)$ para algunos $g\in \Gamma$. $h\circ g\circ h^{-1} = g'\in \Gamma'$ lo que implica que $h\circ g = g^{-1}\circ h$. $h(y')=h(g(y))=g'(h(y))$ por lo tanto $p'(h(y))=p'(h(y'))$.
Este mapa es claramente un local de isometría. La suposición de que $f$ es ni inyectiva(surjective) implicará una declaración similar para $h$, una contradicción. Por lo tanto $f$ es bijective.
Para probar la parte b) voy a utilizar los siguientes resultados estándar de cubrir el espacio de la teoría(c.f Hatcher: topología Algebraica)
1) Para un punto fijo $z_0\in p^{-1}(x_0)$ ($p$ es la parte que cubre el mapa) el conjunto de $\Gamma$ corresponde uno a uno a $p^{-1}(x_0)$ través $g\in\Gamma\leftrightarrow g(z_0)\in p^{-1}(x_0)$.
2) Para un punto fijo $z_0\in p^{-1}(x_0)$ el grupo de la cubierta transformaciones $\Gamma$ $\pi_1(\mathbb{H}/\Gamma,x_0)$ son isomorfos. El isomorfismo es: un elemento $\gamma\in \pi_1(\mathbb{H}/\Gamma,x_0)$ es enviado a la cubierta de transformación tal que $z_0\mapsto \tilde{\gamma}(1)$.($\tilde{\gamma}$ denota el ascensor de $\gamma$).
b)Si $S$ $S'$ son isométrica, la isometría se $f$. Revisión de los puntos de $x_0\in S$, $y_0\in p^{-1}(x_0)$, $x_1\in S'$ y $y_1\in p'^{-1}(x_1)$. Esto induce un mapa de $\tilde{f}$ $\mathbb{H}$ a sí mismo de la siguiente manera: Considere cualquier punto de $y\in \mathbb{H}$ y tome una curva de $\gamma\in \pi_1(S,x_0)$ de manera tal que la elevación de partida en $y_0$ termina en $y$. Definir $\tilde{f}(y):= \tilde{\alpha}(1))$ donde $\alpha = f\circ \gamma$. Esto, claramente, un local isometría como usted dijo. Voy a demostrar que es bijective también.
Primero voy a demostrar que es inyectiva. Supongamos $\tilde{f}(z)=\tilde{f}(z')=y$. Deje $p(z)=x$ $\tilde{\gamma}$ ser cualquier curva de$z$$z'$$\gamma:= \tilde{\gamma}$. Ahora, $f(\gamma)\in \pi_1(S',f(x))$ $\tilde{f(\gamma)}$ empieza y termina en $y$ por lo tanto $f{(\gamma)}$ es la identidad en $\pi_1(S',f(x))$. Pero un homeomorphism entre dos espacios induce un isomorfismo entre sus grupos fundamentales. Por lo tanto $\gamma$ tiene que ser de identidad, lo que implica que $x=x'$.
Surjectivity:Considere una $y\in \mathbb{H}$. Si $x=p'(y)$ entonces existe al menos un $y'\in p^{-1}(x)$ tal que $y'=\tilde{f}(z)$ algunos $z$, ya que de lo contrario $x$ no va a ser la imagen de $f$. Arreglar esto $y'$. Tomar un elemento $\gamma'\in\pi_1(S',x)$ tal que $\tilde{\gamma'}(1)=y$. Si $\gamma$ se define como $f^{-1}(\gamma')$$\tilde{f}(\tilde{\gamma}(1))=y$.
Perdón si he hecho algún tonto error.
