¿Por qué tiene sentido para un sistema cerrado que camino poligonal conectado?

Question

Mi libro de texto (análisis complejo de Saff & Snider) define la interconexión de sistemas abiertos; la definición dada de un conjunto abierto conectado es: un conjunto en que cada par de puntos se puede unir por un camino poligonal que se encuentra totalmente en el conjunto.

¿Utilizando la definición dada de sistema conectado, no entiendo por qué no es igualmente definió para conjuntos cerrados también?

Answer 1

Porque hay una diferencia entre la ruta conectada y unida. E incluso hay una diferencia entre la poligonal conectado y la ruta de acceso conectado. Por ejemplo, tomando el conjunto $$\{ z \in \mathbb{C}: |z|=1\}$$ no tiene poligonal caminos que conectan dos puntos. Pero intuitivamente dice que este conjunto debe ser conectado. Conectado en el puro topológica versión de sonido de esta manera:

Un Topológica del Espacio $(T,\tau)$ se llama conectado cuando no hay vacío de conjuntos de $O_1 \in \tau, O_2\in \tau$$O_1\cap O_2=\varnothing$$O_1 \cup O_2=T$. Un subconjunto de un espacio Topológico está conectado cuando está conectado como un espacio topológico con la traza de la topología.

Cada ruta de acceso conectado espacio está conectado pero no todos conectados espacio es el camino conectado. En $\mathbb{R}^n$ conexión de ruta, de planta poligonal, conexión de ruta de conexión y caen juntos para abrir conjuntos, todos ellos son equivalentes cuando usted sabe que su conjunto ya está abierto.

Esta definición es seguro mucho más complicado que su caso especial, y como está interesado en el análisis complejo sobre meromorphic funciones más tiempo que normalmente sólo se utilizan conjuntos de todos modos. así que quería evitar una complicada definición mediante el caso especial de uno más general.

Answer 2

La conexión aquí es la ruta de la conexión, lo que significa que cualquiera de los dos puntos pueden estar conectados por un camino de viajar por todo el dominio. Para abrir los conjuntos no es difícil mostrar polígono ruta de la conectividad y la ruta de acceso conectado es el mismo, porque cualquier polgyon ruta es una ruta de acceso, y cualquier camino puede ser aproximada por un polígono ruta dado el dominio está abierto. El uso de algunos de topología se puede mostrar la ruta de acceso conectado es el mismo como conectado para abrir sets.

Para conjuntos cerrados, la situación es diferente. Lo que normalmente se considera como "conectado" puede diferir de una "ruta de acceso conectado". Por ejemplo, la gráfica de $\sin[\frac{1}{x^{2}}]$ $0$ al $x=0$ está conectado, pero no de ruta de acceso conectado. Así surgen complicaciones de esta manera. El libro probablemente trató de barrer a estos problemas debajo de la alfombra cuando se introduce el concepto de un primer tiempo de los educandos. Para más detalles sobre este le invitamos a leer esto:

http://en.wikipedia.org/wiki/Topologist%27s_sine_curve

Answer 3

Además respuesta aseada de @Dominic, estoy observando un buen teorema siguiente. Sin embargo se trata de $\mathbb R$, obtendrá los puntos en otra respuesta dramatizado mejor:

Teorema: Que $E\subset\mathbb R$ incluyendo al menos dos puntos. Entonces $E$ está conectado si y solamente si es un intervalo.

De hecho, si $E$ no es un intervalo, tan $$\exists~p\notin E, a,b\in E~~ a<p<b$$ Now if you set $$G=(-\infty,p),~~H=(p,+\infty)$$ then $a\in G, b\in G H$ and then $E\cap, H\cap E$ are disjoint different non empty sets that can make $E$. This shows that $E$ no está conectado!

Answer 4

Poligonal conexión (que es una condición más fuerte que topológica de la conexión) se puede definir para cualquier subconjunto del plano complejo. La definición será, como era de esperar, que un conjunto $A\subseteq \mathbb C$ es polygonally conectado si cualquiera de los dos puntos en que pueden ser conectados por una poligonal camino dentro de $A$.

Los autores simplemente no se molestó con la mayoría de la posibilidad general. Que le importa sobre todo subconjuntos del plano que están abiertos y polygonally conectado. La razón es que en el complejo el análisis de subconjuntos son muy importantes. La apertura es importante porque usted quiere ser capaz de hablar de una función que se holomorphic en la región, y si la región no está abierto, esto lleva a las molestas dificultades técnicas. De planta poligonal, la conectividad es importante porque significa que cualquier función definida en la región puede ser integrada entre dos puntos cualesquiera en la región. Estas son las cosas que suceden a menudo en el análisis complejo, y así podrás ver un montón y un montón de teoremas que dicen algo así como "si $f$ es holomorphic en un abrir polygonally conjunto conectado, a continuación,....".