Deje $G$ ser finito, solucionable, no$p$- $A$ ser un subgrupo maximal de a $G$. Por lo tanto, $A$ es de primaria índice $p^{n} $ $|G : A|=p^{n}$ donde $p$ es el primer y $n\geq 1$. Si $|G|=p_1^{n_1}p_2^{n_2}\cdots p_l^{n_l}p^{m+n}$; $n_i\geq 1, m\geq 0$ y $P_i$ es un sylow $p_{i}$-subgrupo y $P$ es un sylow $p$-subgrupo de $G$, podemos obtener un sylow base $\{P_1, P_2, \cdots,P_l, P\} ; l\geq 1$ $G$ tal que $P_i\subseteq A$; $1\leq i\leq l$? Cualquier respuesta será bienvenida
Respuesta
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Este es un caso especial de Hall (1937), y sobre todo es fácilmente comprensible después de que usted ha visto Sala de subgrupos (subgrupos cuyo fin es coprime a su índice). Usted puede ver las ideas comienzan en el Pabellón (1928), pero también se puede ver juntos en una manera agradable en Carter (1959). En particular, Carter se describe cómo utilizar el maximality condición de no trivial de la forma de entender los subgrupos de una finito soluble en grupo. La prueba a continuación no uso maximality y vale para cualquier subgrupo $A$ de un número finito soluble grupo $G$ (a excepción de la parte donde $\tilde P_i = P_i$).
La construcción principal
Set $p_0 = p$ y deje $\{\tilde P_1, \tilde P_2, \cdots, \tilde P_l, \tilde P = \tilde P_0\}$ ser un Sylow de base para $A$. Deje $\tilde Q_i$ ser el producto de la $\tilde P_j$$j \neq i$. Ya tenemos un Sylow base, cada una de las $\tilde Q_i$ es un subgrupo de orden coprime a $p_i$ y la del índice (relativa a $A$) un poder de $p_i$ (que se llama Sala de $p_i'$-subgrupo, o un Sylow $p$-complemento; la colección de $\{\tilde Q_i\}$ se llama Sylow sistema del complemento para $A$).
Deje $Q_i$ ser una Sala de $p_i'$-subgrupo de $G$ contiene $\tilde Q_i$ (hágamelo saber si usted necesita ver una prueba de la existencia de $Q_i$, esto es, en la Sala de 1928 papel). Definir $P_\pi = \bigcap_{p_j \notin \pi} Q_j$. Entonces me reclamación $\{ P_i \} = \{ P_{\{p_i\}} \}$ es un Sylow base de $G$, y que se extiende el Sylow base de $A$.
Verificación
- $P_\pi$ $\pi$- subgrupo.
Prueba: Si $p_j \notin \pi$,$P_\pi \leq Q_j$, e $Q_j$ $p_j'$- subgrupo, por lo $P_\pi$ no tiene orden divisible por $p_j$.
- $P_\pi$ es una Sala de $\pi$-subgrupo de $G$.
Prueba: Esto es cierto por definición si $\pi$ falta sólo el cero o uno de los números primos dividiendo $|G|$, desde entonces $P_\pi = G$ o $P_\pi = Q_j$. Supongamos que para la inducción de la causa que $P_\pi$ es una Sala de $\pi$-subgrupo de $G$ $\pi$ faltan menos de $k$ los primos de la división de la orden de $G$, y deje $\pi = \rho \setminus \{ p_i \}$ $\rho \neq \pi$ ser un conjunto de números primos que faltan exactamente $k$ primer divisores de $|G|$. Entonces, por definición,$P_\pi = P_\rho \cap Q_i$. Desde $P_\rho$ es una Sala de $\rho$-subgrupo por inducción, y $Q_i$ $p_i'$- subgrupo, tenemos $[G:P_\rho]$ $\rho'$- número y $[G:Q_i]$ $p_i$- número, por lo que sus índices son relativamente primos y, por tanto,$[G:P_\pi] = [G:P_\rho] [G:Q_i]$, de modo que $P_\pi$ es una Sala de $\pi$-subgrupo de $G$, y la inducción procede.
- $P_\pi \cap P_\rho = P_{\pi \cap \rho}$
Prueba: Esto es sólo la definición.
- $P_\pi P_\rho = P_\rho P_\pi = P_{\rho \cup \pi}$
Prueba: $P_\pi$ $P_\rho$ son por definición subgrupos de $P_{\rho \cup \pi}$, por lo que el $P_\pi P_\rho$ es un subconjunto de a $P_{\rho \cup \pi}$. Sin embargo $|P_\rho P_\pi| = |P_\rho| |P_\pi| / |P_\rho \cap P_\pi|$ que es exactamente el tamaño de $|P_{\rho \cup \pi}|$, por lo que tenemos $P_\pi P_\rho = P_{\rho \cup \pi}$ es un grupo.
- $A \cap P_i = \tilde P_i$. (Que es el Sylow base de $G$ que hemos construido "reduce" a $A$)
Prueba: $A \cap P_i = A \cap \bigcap_{j \neq i} Q_j = \bigcap{j \neq i} (A \cap Q_j) = \bigcap_{j \neq i} \tilde Q_j = \tilde P_j$. La complicada sólo la igualdad es la última: por definición, $\tilde P_i \leq \tilde Q_j$ así tenemos el $\supseteq$. La otra inclusión es sólo un fin de cuenta el uso de las reivindicaciones anteriores para $\tilde P_\pi = \bigcap_{p_j \notin \pi} \tilde Q_j$.
- $P_i = \tilde P_i$ si $i \neq 0$.
Prueba: Esto es sólo un fin de consideración. $P_i$ es un Sylow $p_i$-subgrupo de $G$ contiene $\tilde P_i$, un Sylow $p_i$-subgrupo de $A$, pero el mismo poder de $p_i$ divide tanto a a$|G|$$|A|$.
Bibliografía
Hall, P. "Una nota sobre solubles de los grupos". Revista de la Sociedad Matemática de Londres 3, (1928) 98-105. JFM 54.0145.01 DOI:10.1112/jlms/s1-3.2.98
Hall, P. "En los sistemas de Sylow de un soluble en el grupo." Actas de la Sociedad Matemática de Londres, (2ª serie) 43, (1937) 316-323. JFM 63.0069.04 DOI:10.1112/plms/s2-43.4.316
Carter, R. W. "En una clase de finito solubles de los grupos". Actas de la Sociedad Matemática de Londres, (3ª serie) 9 (1959) 623-640. MR114859 DOI:10.1112/plms/s3-9.4.623
