Confusión sobre evento en un espacio muestral.

Question

Soy un principiante en probabilidad y conteo. Estoy leyendo un curso abierto de MIT. Mientras leo el capítulo introductorio, estoy atascado en una duda conceptual, si entiendo correctamente un evento es el subconjunto del espacio muestral que es la colección de todos los posibles resultados, ahora hay un ejemplo muy simple de un lanzamiento de una moneda única cuyos posibles resultados son:

$$\{H, T\}$$

¡Bien! y tiene sentido, ahora los posibles eventos se enumeran como:

$$\{H, T\}, \{H\}, \{T\}, \emptyset $$

La confusión comienza aquí, los eventos 2 y 3 son correctos y tienen sentido para una moneda justa es decir, la moneda solo puede estar en dos estados pero considera el caso extremo y supongamos que la moneda todavía está derecha lo cual puede ser raro pero no imposible, por lo tanto, el evento $\emptyset$ tiene sentido, ¿pero qué pasa con $\{H, T\}$? ¿cómo puede ser un evento al menos no en la práctica, ¿me estoy perdiendo algo?

Answer 1

El evento $\{H, T\}$ es el evento de que la moneda salga cara o cruz. Este evento siempre sucede y por lo tanto tiene una probabilidad de $1$.

El evento vacío, $\varnothing$, no debe ser considerado como el evento de que la moneda caiga de canto. Se asume que la moneda siempre cae cara o cruz. Más bien, el evento $\varnothing$ es el evento de que no hay resultado, lo cual nunca sucede y tiene una probabilidad de $0$.

Podría ser ilustrativo considerar el espacio muestral de un lanzamiento de dado: $\{1,2,3,4,5,6\}$. Ahora, el evento $\{2,4,6\}$ es el evento de que el dado muestre $2$, $4$, o $6$, no el evento de que muestre $2$, $4$, y $6$. Equivalentemente, $\{2,4,6\}$ es el evento de que el lanzamiento del dado sea un número par, lo cual tiene sentido como algo que nos gustaría considerar como un evento.

Answer 2

Cualquier subconjunto del espacio muestral se llama evento. Si el espacio muestral es finito y tiene $k$ elementos, entonces hay $2^k$ eventos diferentes porque hay $2^k$ subconjuntos diferentes de un conjunto de $k$ elementos. En tu caso, $k=2.

Tal vez esto tenga más sentido si miramos el ejemplo de lanzar un dado justo. En este caso, el espacio muestral es $S=\{1,2,3,4,5,6\}$. Por supuesto, $\{3\}$ es un evento. Pero también podemos considerar el evento $A$ de que ocurra un número impar. En este caso, $A = \{1,3,5\}$, que también es un subconjunto de $S. O el evento de que el número que aparece sea un número primo. Este evento es el subconjunto $\{2,3,5\}$. Podemos jugar y decir que yo gano si el evento "aparece un cuadrado perfecto" y tú ganas de lo contrario. La probabilidad de que ocurra un 1 o un 4 es $|\{1,4\}|/|S|=2/6=1/3$, así que no aceptaría jugar este juego contigo.

Por lo tanto, los eventos son solo subconjuntos del espacio muestral en el sentido matemático en lugar de en el sentido de que una moneda no puede salir al mismo tiempo cara y cruz (o ni cara ni cruz). Considera el experimento de lanzar una moneda justa, con espacio muestral $S=\{H,T\}$. Esta definición del espacio muestral implica automáticamente que los únicos resultados posibles son $H$ y $T - no es posible que ambos ocurran o ninguno como resultado. Dado este espacio muestral, podemos preguntarnos "¿cuál es la probabilidad de que aparezca una cara o una cruz?" Esta es la probabilidad del evento $A=\{H,T\} \subseteq S$ y esta probabilidad es, por supuesto, 1. Si otros resultados (como ni cara ni cruz) fueran posibles, el espacio muestral tendría que especificar estos otros resultados por ejemplo, $S=\{H,T,N\}$, donde $N$ denota la posibilidad de que la moneda aterrice como ni cara ni cruz.