Buscando un ejemplo contrario de intersección no conectado de la cadena descendente de cerrado conectado a sistemas de

Question

Deje $X$ ser un espacio topológico y deje $\left\{ Y_{i}\right\} _{i=1}^{\infty}$ ser un descendente de la cadena de cerrados conectados subconjuntos de a $X$. Sé que a partir de la lectura de otros lugares que ${\displaystyle \bigcap_{i=1}^{\infty}Y_{i}}$ no está necesariamente conectado a un subespacio de $X$ pero no tengo contador de ejemplo y no he logrado llegar a uno. Hay un mostrador ejemplo aquí la misma pregunta, a la vez que asume $X$ es compacto. Sin embargo, se utiliza el cociente de la topología de la que no he estudiado acerca de lo que el me prefiere otro contraejemplo que no utiliza el cociente de la topología.

Ayuda se agradece!

Answer 1

La respuesta aquí también se puede decir sin el cociente:

Que $X:=[-1,1]\cup\{0'\}$ donde $0'$ es un elemento nuevo, ficticio, jugando el papel de un segundo origeny definir la topología en $[-1,1]$ como de costumbre y $(-a,b)\setminus\{0\}\cup\{0'\}$ sea una base para barrios abiertos de $0'$.

Ahora consideremos $Y_n:=[-1/n,1/n]\cup\{0'\}$.

Answer 2

Probar los sistemas siguientes: $$Y_i = \bigg([-2,2]\times\mathbb{R}\bigg) - \bigg((-1,1)\times(-i,i)\bigg).$ $

$Y_i$ Es una tira infinita cerrada con cajas abiertas sucesivamente más grandes quitado. La intersección $$\bigcap_{i=1}^\infty Y_i = ([-2,-1]\cup[1,2])\times\mathbb{R}$ $ está desconectado, pero cada $Y_i$ está cerrado y conectado.