¿Cuándo el producto de las derivadas es igual a la derivada de los productos?

Question

En general, $\frac{d}{dx}(f(x) \cdot g(x)) \neq \frac{d}{dx}f(x) \cdot \frac{d}{dx}g(x)$

¿Cuándo se cumple este resultado? Mi primer intento es utilizar la regla del producto en el lado izquierdo y comparar los dos lados, pero esto no ha ayudado en absoluto. ¿Alguna sugerencia?

Answer 1

Bien asumiendo una de las dos funciones, por ejemplo $g$ está dado, entonces encontrar $f$ es simplemente resolver una ecuación lineal homogénea.

$$f'(x)g(x) + f(x)g'(x) = f'(x)g'(x)$$ que es lo mismo que $$f'(x)(g(x)-g'(x)) + f(x)g'(x) = 0$$ dado $g$ entonces puedes resolverlo con $$f(x) = f(x_0)\exp \left\{ -\int_{x_0}^x \frac{g'(y)}{g(y)-g'(y)}dy\right\}.$$

Answer 2

Se puede probar la exponencial de la forma $f(x) = e^{ax}$ y $g(x)= e^{bx}$ entonces

$(fg)' = f'g+fg' = e^{ax}e^{bx}(a+b)=^! f'g'= ae^{ax}be^{bx}\Leftrightarrow a+b = ab\Leftrightarrow a,b = 0 \lor a,b = 2. $