Consideremos el mapeo localmente acotado $m: X \times \mathcal{B}(X) \rightarrow [0,1]$ con $X \subseteq \mathbb{R}^n$ y $\mathcal{B}(X)$ denotando los conjuntos de Borel, tales que
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para todos $x \in X$ , $\ m(x,\cdot)$ es una medida de probabilidad sobre $X$ para que $\forall x \in X$ $\ m(x,X)=1$ ;
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para todos $\tilde{X} \subseteq X$ la asignación $m(\cdot,\tilde{X})$ es continua.
Dada una función continua $\ f: X \rightarrow [0,1]$ Me pregunto si la siguiente integral también es una función continua.
$$ x \mapsto F(x) := \int_X f(y) m(dy,x) $$
Comentario. Esta es una variación de esa pregunta donde para la medida de probabilidad "constante" $m$ El Teorema de la convergencia dominada es suficiente para demostrar la continuidad de la integral. Ahora creo que es interesante preguntarse si esto se mantiene siempre que la medida de probabilidad $m$ cambia continuamente. Creo que la continuidad no se sostiene, pero no he podido encontrar un contraejemplo.
Editar. $f$ toma valores en $[0,1]$ .