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¿Continuidad de la integral de Lebesgue con medidas que varían continuamente?

Consideremos el mapeo localmente acotado $m: X \times \mathcal{B}(X) \rightarrow [0,1]$ con $X \subseteq \mathbb{R}^n$ y $\mathcal{B}(X)$ denotando los conjuntos de Borel, tales que

  • para todos $x \in X$ , $\ m(x,\cdot)$ es una medida de probabilidad sobre $X$ para que $\forall x \in X$ $\ m(x,X)=1$ ;

  • para todos $\tilde{X} \subseteq X$ la asignación $m(\cdot,\tilde{X})$ es continua.

Dada una función continua $\ f: X \rightarrow [0,1]$ Me pregunto si la siguiente integral también es una función continua.

$$ x \mapsto F(x) := \int_X f(y) m(dy,x) $$

Comentario. Esta es una variación de esa pregunta donde para la medida de probabilidad "constante" $m$ El Teorema de la convergencia dominada es suficiente para demostrar la continuidad de la integral. Ahora creo que es interesante preguntarse si esto se mantiene siempre que la medida de probabilidad $m$ cambia continuamente. Creo que la continuidad no se sostiene, pero no he podido encontrar un contraejemplo.

Editar. $f$ toma valores en $[0,1]$ .

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Davide Giraudo Puntos 95813

Cuando $f$ está acotada, podemos aproximarla uniformemente mediante funciones simples, es decir, combinaciones lineales de funciones características de conjuntos medibles, es decir, de la forma $\sum_{j=1}^Nc_j\chi_{A_j}$ donde $c_j$ son constantes y $\chi_{A_j}(x)$ es $1$ cuando $x\in A_j$ y $0$ por lo demás. Esto sólo requiere $f$ estar acotado, no importa cuál sea el dominio.

Para estas funciones, el $F$ es continua por suposición (es verdadera cuando $f$ es la función característica de un conjunto medible por el segundo punto, y una combinación lineal de funciones continuas es continua). Llama a $(f_n,n\geqslant 1)$ la secuencia de funciones simples que convergen uniformemente a $f$ en $X$ y $(F_n,n\geqslant 1)$ la secuencia asociada como en el OP.

La secuencia $(F_n,n\geqslant 1)$ converge uniformemente a $F$ por la suposición de que $m(x,\cdot)$ es una medida de probabilidad. En efecto, tenemos $$|F_n(x)-F(x)|\leqslant \int_X|f_n(y)-f(y)|m(dy,x)\leqslant \sup_{y\in X}|f_n(y)-f(y)|\cdot \underbrace{m(X,x)}_{=1}$$

Definir para cualquier medible $g$ integrable con respecto a todos los $m(\cdot,x)$ , $$T(g)(x):=\int_Xg(y)m(dy,x).$$ Tenemos que $T(f_n)$ es continua para todo $n$ . De hecho, desde que $T$ es lineal y $f_n=\sum_{\mbox{finite}}c_j\chi_{A_j}$ es suficiente para demostrar que para cualquier $S\subset X$ medible, $T(\chi_S)$ es continua. Tenemos $T(\chi_S)(x)=m(S,x)$ que da un mapa continuo por el segundo punto en el OP.

Como un límite uniforme de funciones continuas es continuo, también lo será $F$ .

Cuando $f$ no está acotado, por un argumento de truncamiento podemos ver que $F$ es de clase Baire uno, es decir, un límite puntual de funciones continuas.

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