Demostrar que la función no es integrable en Lebesgue

Question

Demostrar que la función $f(x,y)=\dfrac{1}{x^2+y^2}$ no es integrable por Lebesgue en $A=(0,1]\times(0,1]$ .

Que yo sepa la forma más rápida de hacerlo es utilizar el teorema de Fubini. De lo que obtendría: $$\int_0^1 \frac{1}{x^2+y^2}dy=\frac{1}{x^3}\operatorname{arctg}\left(\frac{y}{x}\right)\Big|^1_0=\frac{1}{x^3}\operatorname{arctg}\left(\frac{1}{x}\right)$$

$$\int_0^1 \frac{1}{x^3}\operatorname{arctg}\left(\frac{1}{x}\right)\,dx=\cdots$$ Lo cual es bastante computación y me cuesta creer que ese sea el objetivo de esta tarea.

Así que mi pregunta es: ¿Cómo puedo demostrar que esta función no es integrable utilizando Teorema de Fubini la forma más rápida posible?

EDITAR. Ya hay dos soluciones publicadas para esta pregunta, ambas utilizan la sustitución de variables pero me gustaría evitarlas si es posible, porque a la hora de hacer este ejercicio no conocíamos ese teorema. A alguien se le ocurre alguna otra solución (también que no sea calcular esa complicada integral).

Answer 1

Desde $\arctan x \xrightarrow[x\to\infty]{}\frac{\pi}{2}$ , $\frac{1}{x^3}\arctan\frac{1}{x}\operatorname*{\sim}_{x\to 0}\frac{\pi}{2x^3}$ . Pero como $x\mapsto\frac{1}{x^3}$ no es integrable por Lebesgue en una vecindad de $0$ Así que no es $x\mapsto\frac{1}{x^3}\arctan\frac{1}{x}$ : $$ \int_{[0,1]}\frac{1}{x^3}\arctan\frac{1}{x}\mu(dx) = +\infty $$

Answer 2

Demostraremos que $$ \int_C f(x,y)\,dx\,dy=\infty, $$ donde $$ C=\{(x,y): x,y\ge 0,\,\,\, \text{and}\,\,\, x^2+y^2\le 1\}. $$ Utilizando coordenadas polares, es decir, $$ x=r\cos\vartheta,\,\, y=r\sin\vartheta\quad\text{and}\quad dx\,dy=r\,dr\,d\vartheta,$$ obtenemos $$ C=\big\{(r,\vartheta): r\in[0,1],\,\,\vartheta\in[0,2\pi]\big\}, $$ y por lo tanto $$ \int_C \frac{1}{x^2+y^2}\,dx\,dy=\int_0^{\pi/2}\left(\int_0^1 \frac{1}{r^2}r\,dr\right)\,d\vartheta=\frac{\pi}{2}\int_0^1\frac{dr}{r}=\infty. $$

Answer 3

Sugerencia: utilizar coordenadas polares en la vecindad de cero.