Creo recordar haber leído en alguna parte una prueba "abstracta sin sentido" del conocido hecho de que el grupo fundamental de un grupo topológico conexo es abeliano. Por "tontería abstracta" me refiero a que la prueba utilizaba poco más que el hecho de que los grupos topológicos son los objetos de grupo en la categoría de espacios topológicos y el hecho de que $\pi_1$ es un functor de homotopía. ¿Alguien recuerda cómo funciona? Las referencias están bien.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Hay una prueba en su mayoría sin sentido en Robert M. Switzer's Topología algebraica--homotopía y homología al final del primer capítulo. (Puedes verlo en googlebooks)
Demuestra que si $X$ es un $H$ -cogrupo, entonces $[X,Y]$ es un grupo, y que si $Y$ es un $H$ -grupo, entonces $[X,Y]$ también es un grupo, por lo que cuando $X$ y $Y$ son un $H$ -y un $H$ -respectivamente, entonces $[X,Y]$ es un grupo de dos maneras. Y así sucesivamente.
Uncle Philster
Puntos
1
Acabo de encontrar esta vieja pregunta y resulta que conozco un argumento muy bonito de "tontería abstracta" de un sabor completamente diferente. Sea $G$ sea un grupo topológico y consideremos el groupoide fundamental $\Pi(G)$ de $G$ que se convierte en una categoría monoidal bajo la operación de grupo. El objeto unitario es, por supuesto, la identidad. Pero es bien sabido que el monoide de endomorfismos del objeto unitario, que en este caso es el grupo fundamental en la identidad, se incrusta en el centro de Bernstein (el monoide de endomorfismos del funtor identidad sobre $\Pi(G)$ ), que siempre es conmutativa.
