Mostrar que esta representación es irreductible y fiel

Question

Dejar que un ser Un primer $C^{*}$ álgebra y $e= \alpha^{-1} c^{*}c$ algunos $c \in A$ que satisface $(c^{*}c)^{2}=\alpha c^{*}c$. A continuación, $e^{2}=e=e^{*}$ $eAe=\mathbb Ce$ $eAe$ puede ser identificado con $\mathbb C$.

Dotar a $Ae$, con un producto interior $<ae,be>=eb^{*}ae$. A continuación, el interior de la norma de producto coincide con el original de la norma en $Ae$ y por lo tanto es completa. El correspondiente espacio de Hilbert es denotado por $H$.

Definir $ \pi:A\longrightarrow B(H)$$ \pi(a) \xi= a \xi, \ a \in A, \ \xi \in H$. Debemos demostrar que $\pi$ es una irreductible y la representación fiel. Que es una representación es sencillo. ¿Cómo podemos demostrar que es irreductible y fieles?

Answer 1

1. Fidelidad: supongamos que $a\in A$$a\ne0$. Como $e\ne0$, por primalidad existe $b\in A$$abe\ne0$. Es decir,$\pi(a)be\ne0$$\pi(a)\ne0$.

2. Irreductibilidad: Vamos a $P\in B(H)$ ser una proyección con $P\pi(a)=\pi(a)P$ todos los $a\in A$. Deje $K=PH\subset H$. Definir $$ I=\{b\en A:\ se\in K\},\ \ J=\{b\en A:\ se\K^\asesino\}. $$ El hecho de que $P$ viajes con todos los $\pi(a)$ implica que el $I,J$ son de izquierda ideales: si $b\in I$, $a\in A$, a continuación, $abe=\pi(a)be=\pi(a)Pbe=P\pi(a)be\in K$ (es trivial comprobar que $I,J$ son subespacios de $A$).

Si $Ie=0$,$K=0$$P=0$. Si $Ie\ne0$ existe $b\in I$$be\ne0$. Vamos $d\in J$, $a\in A$. A continuación,$ad\in J$, e $ade\in K^\perp$. Por lo $eb^*ade=0$ por la ortogonalidad de $K$$K^\perp$. Como esto ocurre para cada $a\in A$, llegamos a la conclusión por la primalidad de $A$ que $de=0$ (como estamos suponiendo que la $be\ne0$). Como $d$ fue un elemento arbitrario de $Je$, llegamos a la conclusión de que $Je=0$, es decir,$K^\perp=0$, lo $P=I$.

Hemos demostrado que $P$ es $0$ o $I$, lo $\pi(A)$ es irreductible.