Funciones analíticas - ¿por qué 2 dimensiones?

Question

Habiendo aprendido la definición de funciones analíticas, me pareció sorprendente y poco intuitivo que es el conjunto de funciones en el plano complejo cuyas partes real e imaginaria de cada satisfacer de Laplace de la Ecuación de $\nabla^{2} = 0$ debe tener la increíble importancia, ya que este es, básicamente, un conjunto de dos armónico de las funciones $\mathbb{R}$. ¿Este se extienden a dimensiones superiores de la hypercomplex números como cuaterniones?

Más formalmente, hay una generalización de los espacios de funciones analíticas a dimensiones superiores $ 2^n | n \in \mathbb{N}, n > 1$ donde cada componente de la función de forma individual satisface la Ecuación de Laplace? Hacer estos espacios funcionales de rendimiento propiedades similares a los que se enumeran en el campo de análisis complejo, o hay diferencias salientes?

Answer 1

En el libro Introducción al Análisis de Fourier en Espacios Euclidianos , por EM Stein y G. Weiss, una "función analítica generalizada" se define como una función$u=(u_1,\dots,u_n)\colon D\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ tal que $$ \ sum_ {i = 1} ^ n \ frac {\ partial u_i} {\ partial x_i} = 0, \ quad \ frac {\ parcial u_i} {\ partial x_j} = \ frac {\ parcial u_j} {\ partial x_i}, \ quad1 \ le i, j \ le norte. $$ Esto equivale a $$ \ operatorname {div} u = 0, \ quad \ operatorname {curl} u = 0. $$

Answer 2

En cuaterniones análisis de la noción de analiticidad, holomorphy, y harmonicity no están vinculados como para el análisis complejo como se puede ver en esta presentación de quaternionic análisis donde se presenta la definición de un "regular" quaternionic función propuesta por R. Fueter ( en 1935), que se caracteriza por una propiedad análoga a la de Cauchy-Riemann ecuaciones. Obviamente muchas más difícil) en la extensión de cálculo de los cuaterniones provenir de la no conmutatividad, que es una característica de cualquier extensión del campo de los números complejos.

Answer 3

También es sorprendente que los dominios en$\mathbb R^2$ tengan tantos mapas conformes, pero los dominios en$\mathbb R^n$ para$n \ge 3$ tienen (por comparación) apenas ninguno.