Combinación de cuaterniones de rotación

Question

Si puedo combinar 2 de rotación de cuaterniones por la multiplicación de ellos, digamos que uno de ellos representa algunos de rotación alrededor del eje x y la otra representa a algunos de rotación alrededor de un eje arbitrario.

El orden de rotación de las materias, de manera que el orden de los cuaterniones de multiplicación para "combinar" la rotación de los asuntos también.

Mi pregunta es, ¿cómo la combinación de los cuaterniones rotaciones de trabajo? Es como la matriz de transformaciones, donde

(M2 * M1) * P

El punto P será transformado por M1, y luego por M2, aunque técnicamente es más que ser multiplicado por M2M1. Hacer rotación de los cuaterniones de trabajo de la misma manera? ¿La primera rotación tiene que ser en el lado derecho y, a continuación, rotación se aplica multiplicando a la izquierda?

Answer 1

Si usted comprobar algunos de los recursos en la pregunta anterior , usted encontrará que la forma más útil cuaterniones actuar como rotaciones es por conjugación.

Pensar en el $i,j,k$ vectores como ortonormales de vectores en el espacio 3-dimensional, como solemos hacer en la física. Cada punto en el espacio de 3 dimensiones, a continuación, es sólo una combinación lineal de estos tres vectores. Estos son los "puros cuaterniones", cuyas partes reales son 0.

Dada una cuádrupla con la norma 1, se $u$, puede girar un puro cuaterniones $v$ mediante la conjugación de: $v\mapsto uvu^{-1}$. Deje $w$ ser otro de los cuaterniones con la norma 1. A continuación, como se observa, se puede girar por $u$ $w$ en dos órdenes diferentes:

$$wuvu^{-1}w^{-1}=(wu)v(wu)^{-1}$$

o

$$uwvw^{-1}u^{-1}=(uw)v(uw)^{-1}$$

que, potencialmente, pueden ser diferentes.

Vamos a intentarlo con algunas opciones simples de $u$$w$. Intente $u=i$$w=j$, y a ver qué pasa a la $i,j,k$ vectores en esas rotaciones. Si lo hacemos con $u=i$, se puede comprobar que $$i\mapsto iii^{-1}=i$$ $$j\mapsto iji^{-1}=-j$$ $$k\mapsto iki^{-1}=-k$$ .

Visualizar lo que ha sucedido con el original de la tríada $i,j,k$ después de la rotación. Voy a dejar el otro ejemplo.

Para personalizar la longitud de 1 cuaterniones que giran las cosas de la manera que usted desea, usted tendrá que echar un vistazo al artículo de wiki. Básicamente la idea es esta: cada rotación en un espacio de 3 dimensiones es especificado por un eje de rotación y el ángulo que girar alrededor de dicho eje. Para encontrar a su medida $u$, primero calcular una unidad de cuaterniones $h$ que es normal al plano de rotación y, a continuación, una expresión como $u=\cos(\theta/2)+h\sin(\theta/2)$ resulta ser lo que usted desea. (No he sido muy cuidadoso acerca de cómo especificar la dirección y rotación o signos en este boceto, así que tenga cuidado cuando se sigue una explicación detallada.)