Si usted comprobar algunos de los recursos en la pregunta anterior , usted encontrará que la forma más útil cuaterniones actuar como rotaciones es por conjugación.
Pensar en el $i,j,k$ vectores como ortonormales de vectores en el espacio 3-dimensional, como solemos hacer en la física. Cada punto en el espacio de 3 dimensiones, a continuación, es sólo una combinación lineal de estos tres vectores. Estos son los "puros cuaterniones", cuyas partes reales son 0.
Dada una cuádrupla con la norma 1, se $u$, puede girar un puro cuaterniones $v$ mediante la conjugación de: $v\mapsto uvu^{-1}$. Deje $w$ ser otro de los cuaterniones con la norma 1. A continuación, como se observa, se puede girar por $u$ $w$ en dos órdenes diferentes:
$$wuvu^{-1}w^{-1}=(wu)v(wu)^{-1}$$
o
$$uwvw^{-1}u^{-1}=(uw)v(uw)^{-1}$$
que, potencialmente, pueden ser diferentes.
Vamos a intentarlo con algunas opciones simples de $u$$w$. Intente $u=i$$w=j$, y a ver qué pasa a la $i,j,k$ vectores en esas rotaciones. Si lo hacemos con $u=i$, se puede comprobar que $$i\mapsto iii^{-1}=i$$
$$j\mapsto iji^{-1}=-j$$ $$k\mapsto iki^{-1}=-k$$.
Visualizar lo que ha sucedido con el original de la tríada $i,j,k$ después de la rotación. Voy a dejar el otro ejemplo.
Para personalizar la longitud de 1 cuaterniones que giran las cosas de la manera que usted desea, usted tendrá que echar un vistazo al artículo de wiki. Básicamente la idea es esta: cada rotación en un espacio de 3 dimensiones es especificado por un eje de rotación y el ángulo que girar alrededor de dicho eje. Para encontrar a su medida $u$, primero calcular una unidad de cuaterniones $h$ que es normal al plano de rotación y, a continuación, una expresión como $u=\cos(\theta/2)+h\sin(\theta/2)$ resulta ser lo que usted desea. (No he sido muy cuidadoso acerca de cómo especificar la dirección y rotación o signos en este boceto, así que tenga cuidado cuando se sigue una explicación detallada.)
