Mostrar que$f$ está limitado si$f(x)+f''(x)=-xg(x)f'(x)$ donde$g\ge0$

Question

Sea$f$ una función de valor real diferenciable dos veces, tal que$f(x)+f''(x)=-xg(x)f'(x)$ Donde$g(x)\geq 0$ muestra que$x$ es una función limitada.

Answer 1

Multiplicando ambos lados por$f'(x)$, uno tiene$$ \frac12[(f(x))^2+(f'(x))^2]'=-xg(x)(f'(x))^2\le 0 $ $ para$x>0$. A continuación, integrando ambos lados de$0$ a$x$, uno tiene$$ (f(x))^2+(f'(x))^2\le(f(0))^2+(f'(0))^2$ $ del cual se obtiene$$ (f(x))^2\le (f(x))^2+(f'(x))^2\le (f(0))^2+(f'(0))^2. $ $ Así que$|f(x)|$ está limitado. Si$x<0$, uno puede usar la misma manera de establecer.

Answer 2

Comenzar con la observación de que

$\dfrac{d}{dx}((f'(x))^2 + (f(x))^2) = 2f'(x)f''(x) + 2 f(x) f'(x); \tag 1$

ya que estamos, dado que

$f''(x) + f(x) = -x g(x) f'(x), \tag 2$

podemos encontrar, al multiplicar (2) por $f'(x)$, que

$f'(x)f''(x) + f(x)f'(x) = -x g(x) (f'(x))^2,; \tag 3$

así, (1) los rendimientos

$\dfrac{d}{dx}((f'(x))^2 + (f(x))^2) = -2x g(x) (f'(x))^2. \tag 4$

Podemos integrar (4) 'entre $0$ y cualquier $x \ge 0$:

$((f'(x))^2 + (f(x))^2) - ((f'(0))^2 + (f(0))^2)$ $= \displaystyle \int_0^x \dfrac{d}{ds}((f'(s))^2 + (f(s))^2)ds = -2\int_0^x s g(s)(f'(s))^2 ds. \tag 5$

Si ponemos

$M_+(x) = \displaystyle -2\int_0^x s g(s)(f'(s))^2 ds, \tag 6$

tenemos que

$M_+(x) \le 0 \tag 7$

desde $s$, $g(s)$, y $(f'(s))^2$ son todos no negativos en $[0, x]$. Por lo tanto

$(f'(x))^2 + (f(x))^2 = (f'(0))^2 + (f(0))^2 + M_+(x) \le (f'(0))^2 + (f(0))^2); \tag 8$

también,

$\vert f(x) \vert^2 = (f(x))^2 \le (f'(x))^2 + (f(x))^2 \le (f'(0))^2 + (f(0))^2, \tag 9$

de dónde

$\vert f(x) \vert \le \sqrt{(f'(0))^2 + (f(0))^2} \tag {10}$

para todos los $x \ge 0$.

En el caso de que $x < 0$, observando que (4) se une para todos los$x \in \Bbb R$, podemos escribir

$((f'(0))^2 + (f(0))^2) - ((f'(x))^2 + (f(x))^2)$ $= \displaystyle \int_x^0 \dfrac{d}{ds}((f'(s))^2 + (f(s))^2)ds = -2\int_x^0 s g(s)(f'(s))^2 ds; \tag {11}$

ahora la creación de

$M_-(x) = \displaystyle -2\int_x^0 s g(s)(f'(s))^2 ds, \tag{12}$

vemos que, desde el $xg(x)(f'(x))^2 \le 0$$x \le 0$,

$M_-(x) \ge 0, \tag{13}$

y re-organización (11) obtenemos

$(f'(x))^2 + (f(x))^2 = (f'(0))^2 + (f(0))^2 - M_-(x) \le (f'(0))^2 + (f(0))^2); \tag{14}$

que de nuevo conduce a la (9) y por lo tanto (10). Vemos que $\vert f(x) \vert$ es limitado para todos los $x \in \Bbb R$.