¿Por qué este conjunto de polinomios es linealmente dependiente?

Question

$$1 + 2t+ t^2, 3-9t^2,1 + 4t + 5t^2$$

(A) Linealmente dependiente o (B) Linealmente independiente

La respuesta es la A de la clave de respuestas.

Esto es una revisión de la prueba.

No veo que ninguno de los dos polinomios sea múltiplo escalar de ninguno de los otros polinomios. ¿Cómo puedo probar la dep|indep lineal con polinomios? Si se tratara de vectores, simplemente los pondría en una matriz y reduciría las filas (o si se trata de una matriz cuadrada, comprobaría el determinante), pero no estoy seguro de qué hacer aquí.

Answer 1

Sugerencia

Usted representa $1 + 2t + t^2$ como un vector de columnas \begin {bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end {bmatrix} y representas $3 -9t^2$ como un vector de columnas \begin {bmatrix} 3 \\ 0 \\ -9 \end {bmatrix} y representas $1 + 4t + 5t^2$ como un vector de columnas \begin {bmatrix} 1 \\ 4 \\ 5 \end {bmatrix}

Ahora tienes una matriz

\begin {bmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 2 & 0 &4 \\1 & -9 & 5 \end {bmatrix}

Ahora creo que lo has sacado de aquí

Answer 2

$$6\cdot (1+2t+t^2) - 3\cdot (1 + 4t + 5t^2) = 3 - 9t^2.$$ Podemos escribir uno de los polinomios como una combinación lineal de los otros dos polinomios y, por tanto, son linealmente dependientes.

Answer 3

Una forma alternativa de resolver este problema es utilizar el Wronskian . Poner \begin {align*} f(t) &= 1 + 2\,t+ t^2 & g(t) &= 3-9\,t^2 & h(t) &= 1 + 4\,t + 5\,t^2 \end {align*} y definir $$ W(t)= \begin{bmatrix} f(t) & g(t) & h(t) \\ f^\prime(t) &g^\prime(t) & h^\prime(t) \\ f^{\prime\prime}(t) & g^{\prime\prime}(t) & h^{\prime\prime}(t) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1+2\,t+t^2 & 3-9\,t^2 & 1+4\,t+5\,t^2 \\ 2+2\,t & -18\,t & 4+10\,t \\ 2 & -18 & 10 \end{bmatrix} $$ Si existe un $t_0$ tal que $\det W(t_0)\neq 0$ entonces $\{f,g,h\}$ es linealmente independiente . Dado que cada uno de $f$ , $g$ y $h$ es analítica Si $\det W(t)=0$ para todos $t\in\Bbb R$ entonces $\{f,g,h\}$ es linealmente dependiente.

Ahora bien, hay que tener en cuenta que la adición de $\DeclareMathOperator{Col}{Col}9\cdot\Col_1$ a $\Col_2$ y restando $5\cdot\Col_1$ de $\Col_3$ da $$ \det W(t) = \begin{vmatrix} 1+2\,t+t^2 &12+18\,t& -4-6\,t \\ 2+2\,t&18&-6 \\ 2&0&0 \end{vmatrix} $$ A continuación, añadiendo $3\cdot\Col_3$ a $\Col_2$ da $$ \det W(t) = \begin{vmatrix} 1+2\,t+t^2 & 0 & -4-6\,t \\ 2+2\,t & 0 & -6 \\ 2 & 0 & 0 \end{vmatrix} = 0 $$ Esto implica que $\{f,g,h\}$ es linealmente dependiente.

Answer 4

Esta familia es linealmente dependiente. De hecho, tenemos lo siguiente $$2(1+2t+t^2)-\frac{1}{3}(3-9t^2)=1+4t+5t^2.$$ Khadija

Answer 5

Todavía puedes ponerlos en una matriz. Sólo tienes que fingir $1,t,t^2$ son los vectores de coordenadas estándar.