Antecedentes: El teorema de muestreo de Shannon indica que un bandlimited función de ($L^2$ función cuya transformada de Fourier tiene soporte compacto) puede ser determinado de forma única de muestreo es un entero de celosía. Más precisamente, si la transformada de Fourier* $\hat{f}$ es compatible en $[-\Omega/2, \Omega/2]$ (de los cuales expresamos por escrito $f \in B_{\Omega}$) y $\tau>0$ satisface $\Omega \tau \leq 1$, $f$ puede ser reconstruido a partir de la familia,$\{ f(k\tau)}_{k \in \mathbb{Z}}$. Prueba de ello es que más o menos periodizar y la reducción de la teoría de series de Fourier. Una de mayores dimensiones analógicas uso de celosías en las cotas más elevadas puede ser demostrado de manera similar.
Pregunta: ¿Qué conjuntos de estos espaciadas de manera uniforme celosías ser sustituido por? Hay un criterio general, o algunas de caracterización de la recogida de tales conjuntos (por ejemplo, medida de la teoría de la)?
Si $\Omega$ es fijo, entonces por lo que pone en $E$ (es decir, contables), es el mapa de $B_{\Omega} \to \mathbb{R}^E$ inyectiva?
Motivación: escuché una conversación entre un estudiante de doctorado y un miembro de la facultad; el estudiante desea determinar si uno tenía un `deformado celosía" $\{ k\tau + X_k \}$ donde $\tau$ fue un muy pequeño de malla relativa a $\Omega$ e las $X_k$ es una secuencia de reales, por lo que las secuencias de $\{X_k\}$ muestras $\{f(k\tau + X_k)\}$ determinar $f \in B_{\Omega}$? Podríamos pensar en la $X_k$ como independiente delimitada variables aleatorias con una pequeña variación, por ejemplo. Él sospechaba (y quería saber) si el conjunto de singular parámetros (donde esta información fue insuficiente) sería un conjunto de medida cero. Intuitivamente, el pequeño tamaño de la malla sugiere algo como esto debería ser el caso.
Se sugirió que uno podría usar algún tipo de finito-dimensional aproximaciones a la totalidad del espacio de $B_{\Omega}$ y tomando subconjuntos finitos de toda la deformada de la celosía, y que el conjunto de los admisible $X_k$ serían algunos subvariedad algebraica de una adecuada codimension, por lo tanto, de medida cero, pero no estaba claro cómo hacerlo. Esto llevó a mi pregunta más general en caja de arriba.
Otra razón de esta pregunta puede ser de interés es que el muestreo utilizado en aplicaciones prácticas (por ejemplo, CAT-scan) no muestra sobre la base de un diseño de entramado como en el teorema de Shannon.
*Yo estoy usando la normalización con el factor de $2\pi$ para la transformada de Fourier.
