¿Cuándo es la unión de una familia de subespacios de un espacio vectorial también un subespacio?

Question

No es difícil probar que la unión de una cadena (o, más generalmente, una familia dirigida) de subespacios de un espacio vectorial$V$ es un subespacio de$V$.

Dado un$\mathcal{F}$ de subespacios de un espacio vectorial$V$ tal que la unión de$\mathcal{F}$ es un subespacio de$V$, es cierto que$\mathcal{F}$ es un subespacio dirigido familia?

Si no, ¿existe una caracterización "agradable" de las familias de subespacios cuya unión es un subespacio?

Answer 1

La familia$\mathcal{F}$ de subespacios unidimensionales de$V$ tiene la propiedad de que su unión es todo el espacio, pero no está dirigida. Tenga en cuenta que si$V$ es finito-dimensional sobre un campo finito, entonces$\mathcal{F}$ es finito también. No sé de ninguna caracterización sin embargo.