¿Cómo probar que existe una transformación lineal?

Question

Se me ha dado el siguiente problema como tarea para casa:

Demostrar que existe una transformación lineal $T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3$ tal que $T(1,1) = (1,0,2)$$T(2,3) = (1,-1,4)$.

Desde sólo dice que demostrar que existe, supongo que no debo realmente identificar la transformación.

Una cosa que he intentado es que muestra que se mantiene bajo la adición o multiplicación en el sentido de:

1) $T(x + y) = T(x) + T(y)$

2) $T(cx) = cT(x)$

3) $T((1,1) + (2,3)) = T(1,1) + T(2,3)$? Pero eso no es necesariamente cierto.

No sé cómo me gustaría realizar esta dado mi limitado conocimiento.

¿Cuál es el enfoque para la resolución de un problema como este?

Answer 1

En este caso, en realidad no es tan difícil para el cálculo de la real transformación.

Si usted sabe que $T(2,3)=(1,-1,4)$$T(1,1)=(1,0,2)$, lo que debe de $T(1,2)$ ser igual? (Tenga en cuenta que $(2,3)-(1,1)=(1,2)$.)

Ahora calcular $T(0,1)$ usando razonamiento similar con $(1,2)$$(1,1)$.

Ahora calcular $T(2,0)$ usando razonamiento similar con $(2,3)$$(0,1)$.

Ahora calcular $T(1,0)$ (¿a ver cómo hacer esto?)

Por último, si $T(1,0)=(a_1,a_1,a_2)$$T(0,1)=(b_1,b_2,b_3)$, entonces se puede calcular el $T(x,y)$ por $$T(x,y)=T(x(1,0)+y(0,1))=xT(1,0)+yT(0,1)=$$$$ x(a_1,a_2,a_2)+y(b_1,b_2,b_3)=(a_1x+b_1y,a_2x+b_2y,a_3x+b_3y).$$

Si usted hacer todos estos pasos, usted tendrá los valores de $a_1,a_2,a_3,b_1,b_2,b_3$, y se puede mostrar que el mapa de $T$ has escrito es lineal y tiene la propiedad de que $T(2,3)=(1,-1,4)$$T(1,1)=(1,0,2)$.

Answer 2

Sugerencia: muestre que$\{(1,1), (2,3)\}$ es la base de$\mathbb{R}^2$.