Ejemplo de un functor olvidadizo que no es fiel.

Question

En el functor olvidadizo artículo de Wikipedia leí que

"[Forgetful] Functores que olvidan los conjuntos adicionales no necesitan ser fieles, morfismos distintos respetando la estructura de los conjuntos extra pueden ser indistinguibles en el conjunto subyacente".

¿Puede alguien darme un ejemplo de un functor olvidadizo que no es fiel?

Answer 1

Si$\mathcal{C},\mathcal{D}$ son categorías, entonces el functor de proyección$\mathcal{C} \times \mathcal{D} \to \mathcal{C}$ (que "olvida" la segunda coordenada) no es fiel (a menos que$\mathcal{D}$ sea delgado o$\mathcal{C}$ está vacío).

Answer 2

Un ejemplo es el functor olvidadizo de Schemes a Sets. Dado que dos campos$k_1, k_2$, puede haber muchos homomorfismos de campo diferentes$k_1 \to k_2$ que dan lugar a muchos morfismos diferentes$\text{Spec }k_2 \to \text{Spec }k_1$. Sin embargo, los conjuntos subyacentes de ambos esquemas son puntos únicos, por lo que hay un mapa único entre ellos en la categoría Conjuntos.