Encuentre todos los automorfismos de$\mathbb{Q}(\sqrt[3]{5})$.
¿Cómo puedo resolver el problema anterior? Por favor, ayude a alguien.
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Xenph Yan
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Un automorphism de $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{5})$ es (por definición) un isomorfismo $f:\mathbb{Q}(\sqrt[3]{5})\to \mathbb{Q}(\sqrt[3]{5})$.
Tenga en cuenta que $$\mathbb{Q}(\sqrt[3]{5})=\{a+b\sqrt[3]{5}+c(\sqrt[3]{5})^2\mid a,b,c\in\mathbb{Q}\}.$$ Por lo tanto, si $f$ es un automorphism de $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{5})$ y te digo donde $f$ envía $\sqrt[3]{5}$, es decir, si te digo que $f(\sqrt[3]{5})=\alpha$ algunos $\alpha\in\mathbb{Q}(\sqrt[3]{5})$, entonces usted sabrá lo $f$ a cualquier elemento de $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{5})$ es debido a $f(t)=t$ todos los $t\in\mathbb{Q}$ $f$ es un anillo homomorphism, por lo tanto $$f(a+b\sqrt[3]{5}+c(\sqrt[3]{5})^2)=a+bf(\sqrt[3]{5})+cf(\sqrt[3]{5})^2=a+b\alpha+c\alpha^2.$$ Por lo tanto, para clasificar a los automorfismos de a $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{5})$, es suficiente para averiguar qué elementos de la $\alpha\in\mathbb{Q}(\sqrt[3]{5})$ un automorphism $f$ es permitido enviar a$\sqrt[3]{5}$.
Ahora tenga en cuenta que, si $\alpha=f(\sqrt[3]{5})$ por un automorphism $f$, debido a $(\sqrt[3]{5})^3-5=0$, también debemos tener que $$0=f(0)=f((\sqrt[3]{5})^3-5)=f(\sqrt[3]{5})^3-5=\alpha^3-5.$$ Por lo tanto, si $f$ es un automorphism de $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{5})$$f(\sqrt[3]{5})=\alpha\in\mathbb{Q}(\sqrt[3]{5})$,$\alpha^3=5$.
Claramente, una opción es $\alpha=\sqrt[3]{5}$; esto corresponde a la identidad automorphism (ver el cálculo anterior). Puede usted averiguar si hay alguna otra $\alpha\in\mathbb{Q}(\sqrt[3]{5})$ que trabajo?
Si he de poner un verdadero esfuerzo en averiguar lo que ocurría desde el anterior, pero usted todavía está atascado, puede puntero del ratón sobre el área gris de abajo para una nueva sugerencia.
Sugerencia: ¿cuáles son las $\alpha\in\mathbb{C}$ con la propiedad de que $\alpha^3=5$? Son elementos de $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{5})$?
