Usos prácticos de la fórmula de número de clase

Question

Por lo que los campos de número de $K$ podemos realmente calcular el residuo de $\zeta_K(s)$ en el poste $s=1$ directamente? Dado que el número de clase de la fórmula nos dice que

$$\textrm{Res}_{s=1}\zeta_K(s)=\frac{2^r(2\pi)^s\textrm{reg}(K)h_K}{\# \mu(K)\sqrt{|d_K|}}$$

esto no parece tan útil, a menos que uno puede calcular todo, excepto uno de los elementos. Los únicos ejemplos que he visto relacionados con la computación de los residuos, pero no creo que demasiado interesante como yo esperaría que la totalidad de la utilidad de la fórmula viene de cómputo de los residuos y, a continuación, utilizar lo que sabemos para deducir el regulador, número de clase o discriminante.

La única otra utilidad de la fórmula que se me ocurre es que si tenemos algún tipo de relación entre la zeta-funciones de algunos de los campos de número. Entonces uno podría utilizar el funcional de la ecuación para calcular las relaciones entre los reguladores, los números de clase, etc. de estos campos de número. Picking por ejemplo, un $S_3$ extensión podemos encontrar relaciones entre los zeta funciones de la subextensions.

Alguien podría elaborar sobre si esta ecuación en realidad tiene ningún uso en la práctica los cálculos? Incluso las referencias a los documentos donde se usa para calcular algo muy interesante, se agradece.

Answer 1

Para cualquier campo dado, puede calcular el residuo de la función zeta de precisión arbitraria: acaba de tomar el producto de muchos arañazos de Euler factores. En la práctica, esto puede ser bastante lento para un alto grado de campos, ya que usted puede ser que necesite un montón de factores para obtener la precisión deseada.

Por supuesto, los cálculos nunca podrán probar la clase número 1 problema, ya que un cálculo puede pasar solamente un número finito de campos.

El principal interés de la fórmula es que proporciona un ejemplo prototípico de un "local-global" principio: el lado izquierdo es algo que se compute a nivel local en cada uno de los prime, mientras que el lado derecho es algo manifiestamente global. Como usted probablemente sabe, el número de la clase fórmula ha servido como una impresión de color azul muy profundo y lejos de llegar a generalizaciones, tales como el de Birch y Swinnerton-Dyer conjetura, por ejemplo. La mayoría de estas generalizaciones son muy abiertos.

Ya que usted también pidió referencias, por ejemplo, acerca de cómo extraer información acerca de los campos de las relaciones entre funciones zeta, aquí es un papel de la mina en la que la información concreta acerca de la Galois módulo de estructura de las unidades se extrae de la relación que usted menciona.