Forma cerrada de la serie de potencia

Question

El primer día en el sitio y este es un lugar increíble!

esta es mi pregunta

Sabiendo que

es una serie de poder, ¿cómo puedo obtener su forma cerrada?

Gracias.

Answer 1

$$f(x)=1+\frac{x^2}2+\frac{x^4}4+\frac{x^6}6+\cdots\ .$ $ Entonces$$f'(x)=x+x^3+x^5+\cdots=\frac{x}{1-x^2}\ ,$ $ so$$f(x)=\int\frac{x}{1-x^2}\,dx=-\frac12\ln(1-x^2)+C\ .$ $ Y como$f(0)=1$ tenemos$C=1$.

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Alternativamente, si conoces la serie estándar$$\ln(1+t)=t-\frac{t^2}2+\frac{t^3}3-\cdots\ ,$ $ puedes sustituir$t=-x^2$ y luego hacer algún álgebra simple.

Answer 2

La respuesta de David es sin duda el camino a seguir. Voy a expandir un poco sobre el resultado (para$|x|<1$)

$$ S = x x ^ 3 x ^ 5 \ cdots = \ frac {x} {1-x ^ 2} $$ Obsérvese que en tal caso ambas series:

$$ S_1 = 1 x x ^ 2 \ cdots = \ frac {1} {1-x} $$ $$ S_2 = 1 x ^ 2 (x ^ 2) ^ 2 (x ^ 2) ^ 3 \ cdots = \ frac {1} {1-x ^ 2} $$ convergen absolutamente, por lo que podemos escribir$S = S_1-S_2$ y substraer termwise, se obtiene:

$$ S = \ frac {1} {1-x} - \ frac {1} {1-x ^ 2} = \ frac {x} {1-x ^ 2} $$