La "paradoja" de que están preguntando acerca de es muy interesante y sólo puedo felicitar a usted sobre la dinámica de la forma en que son studyng matemáticas.
1) El primer punto confuso es que para un holomorphic función de $\phi$ en un subconjunto $U$ de un colector, en su caso $\phi_2$$U_2$ , la ingenua noción de derivada $\phi'(a)$ a un punto de $a\in U$ como un número no funciona: usted obtener diferentes números de acuerdo a la tabla de utilizar.
La correcta idea es que de una forma lineal en el espacio de la tangente
$$ d_a\phi:T_a (U) \to T_{\phi(a)} \mathbb R = \mathbb R $$
La receta para el cómputo de los $d_a\phi$ es elegir un gráfico de $w$ en un barrio de $a$, para considerar la función compuesta $\phi_w=\phi \circ w^{-1}$ y el decreto que hemos
$$ d_a\phi (t\cdot \frac {\partial}{\partial w}) =t\cdot \phi_w'(w(a)) \quad (t\in \mathbb R) $$
Si haces eso en tu situación con $U=U_2, a=\infty, \phi=\phi_2=w$, usted encontrará completamente tautologically que $d_\infty (\phi_2):T_\infty (\mathbb P^1)\to \mathbb R $ está dado por $d_a\phi_2 (t\cdot \frac {\partial}{\partial w})= t$, ya que el $(\phi_2)_w=\phi_2 \circ w^{-1}$ es la identidad.
2) El segundo punto confuso es que no se le permite calcular el $d_\infty\phi_2$ por medio de la tabla de $\phi_1=z$ desde su dominio no contiene el infinito: $\infty\notin U_1=dom(\phi_1)=\mathbb C$.
3) En el idioma de los divisores (introducido en la página 127 del libro) el divisor de la global meromorphic diferencial de la forma$dw\in \Gamma ( \mathbb P^1, \Omega_X ^1 \otimes_{\mathcal O_X} \mathcal M_X)$$div(w)=-2\cdot (0)$$dz\in \Gamma ( \mathbb P^1, \Omega_X ^1 \otimes_{\mathcal O_X} \mathcal M_X)$$div(z)=-2\cdot (\infty)$.
Ambos resultados confirman que la línea de haz de holomorphic $1$formularios en $\mathbb P^1$, una superficie de Riemann de género $g=0$, tiene un grado $2g-2=2\cdot0-2=-2$.
