Estoy un poco confundida entre la diferencia entre la gama & Co dominio de una función. No ¿son lo mismo (es decir, todas posibles las salidas de la función)?
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Creo que tu confusión puede provenir de diferentes usos de la terminología.
Para una función de $f: X \rightarrow Y$, el codominio es sólo el conjunto de $Y$. Por ejemplo, si $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$$x \mapsto x^2$, entonces el codominio es $\mathbb{R}$. Esta terminología se ha acordado por todos los que lo utilizan: es decir, nunca he visto a nadie usar el término "codominio" para significar otra cosa.
Desafortunadamente, el término gama es ambiguo. Algunas veces se utiliza exactamente como codominio es utilizado anteriormente, por lo que algunos dicen que $\mathbb{R}$ es el rango de la cuadratura de la función definida anteriormente. Sin embargo, aquellos que utilizan el término codominio a todos por lo general se reservan el término "rango" para el subconjunto $\{y \in Y \ | \exists x \in X \text{ such that } f(x) = y\}$, es decir, el subconjunto de los valores que se asignan realmente a por algún elemento en el dominio. (Algunos otros utilizan el término imagen de este lugar.) Así, en el ejemplo de arriba la imagen de la función es $[0,\infty)$. Si el intervalo es $\mathbb{R}$ (es decir, el codominio) o $[0,\infty)$ (es decir, el de la imagen) depende de su convención, y ambos son bastante frecuentes.
En la práctica, esto significa que sería más seguro que nunca , para usar el término de rango, en lugar de utilizar codominio y la imagen. (Pero la mayoría de la gente no hace que sea...)
Lorin Hochstein
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Para agregar un poco a Pete y lhf la respuesta: suponiendo que estamos hablando de funciones de un conjunto a otro, hay dos formas comunes de visualización de funciones:
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Como establece $f$ tal forma que:
- Cada elemento de a $f$ es un par ordenado; y
- Si $(x,y)$ $(x,y')$ son elementos de $f$,$y=y'$.
Cuando la visualización de las funciones de esta manera, el dominio es el conjunto: $\{x\mid\text{there exists }y\text{ such that }(x,y)\in f\}$.
Escribimos $f(x)=y$ a la media de $(x,y)\in f$. Y dos funciones son iguales si y sólo si son iguales como conjuntos. En este caso, cuando escribimos $f\colon A\to B$, podemos decir que el $A$ es el dominio, y que $B$ es cualquier conjunto tal que $\{y\mid \text{there exists }x\text{ such that }(x,y)\in f\}\subseteq B$. Tenga en cuenta que la función de $f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ y la función de $g\colon\mathbb{R}\to\{1,-1\}$ $f(x)=g(x)=1$ si $x\geq 0$, $f(x)=g(x)=-1$ si $x\lt 0$ son iguales debido a que las funciones son iguales como conjuntos.
Un problema con esta definición es que no tiene sentido real para preguntar si una pregunta es "surjective", porque no se entiende "el conjunto blanco". Usted tiene que preguntarse acerca de "surjective en $B$".
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Como ordenó triples $(A,B,f)$ donde $A$ $B$ son conjuntos, y $f\subseteq A\times B$ es una función en el sentido anteriormente. $A$ es llamado el dominio, $B$ se llama el codominio, y dos funciones son iguales si y sólo si tienen el mismo dominio, el mismo codominio, y el mismo valor a cada elemento del dominio. Este es, creo, la Bourbaki enfoque. En este caso, las dos funciones de $f$ $g$ mencioné anteriormente son diferentes, porque tienen diferentes codomains.
Aquí, la noción de surjective no tienen sentido, y que proporciona una buena dualidad con la noción de uno-a-uno (aunque no completa la dualidad; por ejemplo, "un uno-a-uno la función ha dejado inversa" sólo requiere que usted asuma el dominio es no vacío, pero "en función de un derecho inversa" requiere, y de hecho es equivalente al Axioma de Elección).
Esto es lo que lleva a los problemas del significado de "codominio", creo. El codominio de una función sólo tiene sentido (en singular artículo definido manera) en la segunda definición. El conjunto similar que puede ser definida de forma única y precisamente en la primera definición es la imagen, que sería el doble de la de dominio: el conjunto de $\{y\mid\text{there exists }z\text{ such that }(z,y)\in f\}$. Pero, siendo el doble de definición, hay una tentación de llamarlo el "codominio", que choca con la definición en la segunda instancia.
lhf
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83572
Una función de $f: X \to Y$ $X$ dominio y $Y$ co-dominio. La imagen de $f$ es el subconjunto de a$Y$$F(X)=\{ f(x) : x\in X \} \subseteq Y$, es decir, el conjunto de valores tomados por $f$. Al $F(X)=Y$, podemos decir que el $f$ es surjective. En general, $F(X)\ne Y$. Por ejemplo, $\sin: \mathbb R \to \mathbb R$ no es surjective sino $\sin: \mathbb R \to \mathbb [-1,1]$ es.
Como se menciona en wikipedia, algunas personas usan el rango de co-dominio, otros para la imagen. Creo que es mejor evitar rango completo.
Mallik
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Ejemplo: un codomain podía ser tan grande como todos los números reales, pero el rango es el conjunto exacto de números que se dan por el dominio.
Si hubo un dominio {1,2,3} con una fórmula 2 x, el rango sería cada número a cada entrada, así {2,4,6}. es el número exacto de los resultados dados por la fórmula y de la insumos. el codomain de ese problema dio solo, sin embargo, podría ser números naturales, números reales, números enteros, cualquier conjunto que contiene los elementos 2, 4, 6 en su interior.
Raymond
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El término codominio es principalmente usado en una manera imprudente. De hecho, la mayoría de los textos de matemáticas definir una función como una relación funcional, que es: una relación (conjunto de pares ordenados) en la que no hay dos pares tienen el mismo primer miembro. Dada una función f, el conjunto de los primeros elementos de los pares en f es uniformemente llamado el dominio de f; para el conjunto del segundo de los elementos, varios nombres coexistir, incluyendo codominio, rango, imagen. El estándar ISO, la notación f : Un -> B declara una función f con dominio de Una y variedad incluida en B. Muchos textos de la llamada B el codominio de f, lo cual es falso porque B no está definida únicamente por f. En cualquier caso, el término codominio no es utilizado por Bourbaki (ver Theorie des Ensembles). Bourbaki define una función de dos maneras, (i) como un triple (F, a, B) donde F es una relación funcional con el dominio y rango de incluida en B, (ii) simplemente como una relación funcional (página 77). Él permite desambiguar (p. 76) llamando al (F, a, B) una aplicación de a en B. Los términos surjective y bijective se originan a partir de Bourbaki y sólo tienen sentido para las aplicaciones. Para las funciones, se debe especificar un conjunto, por ejemplo, bijective en B (ver Exner, Un Acompañamiento a las Matemáticas Superiores).
