Soluciones feas para problemas fácilmente declarados

Question

Hace poco vi una muy horrible la forma cerrada para una ecuación de cuarto grado aquí: ¿Una forma cerrada de la solución de existir para $x$?

Para la diversión, me pregunto sobre sorprendentemente feo soluciones/ maquinaria complicada necesaria para problemas que son, simplemente, declaró.

Claramente, no todos tienen que ser de álgebra.

Estoy tratando de conseguir un sentido particular cómo diferentes de matemáticas métodos son necesarios, y muy interesante. Incluso para fácil plantear problemas.

Answer 1

Clasifique pares de matrices conmutadas hasta un cambio de base.

Esto suena como una extensión de la forma normal de Jordan, ya que las matrices deben ser simultáneamente Jordan-izable o algo así.

De hecho, es el ejemplo canónico de un problema de álgebra lineal "salvaje" que es tan difícil como clasificar$k$ - tuplas de matrices (no conmutadas) para todo$k$. No se espera que exista una solución razonable.

Answer 2

Dado un polinomio, $p(x)$, con coeficientes enteros, los números, $z$, satisfacen la ecuación de $p(z)=0$.

En el caso de los pequeños grado de los polinomios, tenemos la capacidad para escribir las soluciones a ecuaciones polinómicas con coeficientes enteros, utilizando números enteros, los símbolos $(,),+,-,\cdot,/,$ e ^, donde el último indica la exponenciación. En el grado $2$, esto da lugar a la bien conocida ecuación de $$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

En el grado 5 o mayor, esto es, de repente, ya no es cierto. Hay quinto grado de los polinomios con soluciones que no pueden ser exactamente descrito en cualquier "razonable".