Finite Blaschke producto y mapas adecuados en el disco

Question

Tengo que presentar mañana en una sección introductoria en varias variables complejas sobre la forma correcta de mapas, y brillante sobre un hecho que me parece importante, pero no sé cómo demostrarlo.

Supongamos $f: \Bbb D \to \Bbb D$ es un buen mapa. Demostrar que $f$ es de un número finito de Blaschke producto.

Es decir, demostrar que $f(z) = e^{i \theta} \prod_{j=1}^{k} {{z-a_j} \over {1- \overline a_jz}}$

donde, $\theta$ es real, y $a_j \in \Bbb D$.

Se menciona que para mostrar esto, usted debe considerar la fibra de origen. No estoy seguro de qué hacer con esta información, sin embargo.

Answer 1

Desde $f\colon \mathbb{D} \to \mathbb{D}$ es apropiado para cada $r < 1$, la preimagen $f^{-1}(\overline{D_r(0)})$ de la cerrada de disco con radio de $r$ es compacto, lo que figura en $D_\rho(0)$ algunos $\rho < 1$. Por lo tanto, tenemos

$$\lim_{\lvert z\rvert \to 1} \lvert f(z)\rvert = 1.\tag{1}$$

En particular, $f$ no es constante. Por lo que la fibra sobre el origen, el ajuste a cero de $f$ es compacto y discreto, por lo tanto finito.

Ahora vamos a $g$ ser el producto de Blaschke factores por los ceros de $f$ (de acuerdo a la multiplicidad) y considere la función

$$h\colon z \mapsto \frac{f(z)}{g(z)}.$$

A continuación, $h$ es un cero libre de holomorphic de la función en $\mathbb{D}$, y desde finito Blaschke productos han de módulo constante $1$ sobre el círculo unidad, tenemos

$$\lim_{\lvert z\rvert\to 1} \lvert h(z)\rvert = 1.\tag{2}$$

El mínimo módulo principio implica que $h$ es una constante de módulo de $1$, es decir, $h(z) = e^{i\theta}$ algunos $\theta\in\mathbb{R}$.