Homología singular de espacios con topología trivial

Question

Supongamos que $X$ está dotado de la topología trivial, por ejemplo $X$ y $\emptyset$ son los únicos conjuntos abiertos. Para simplificar, supondré que $X$ es finito, $|X| = m$ .

Ahora, el $n$ -del complejo de cadenas singulares de $X$ debe ser libre $\mathbb{Z}$ -generado por la base de cada mapa del n-simplex a $X$ ya que todos esos mapas son continuos.

Volviendo al ejemplo de un espacio unipuntual, los operadores de frontera podrían describirse explícitamente en términos de $n$ impar o incluso desde que la cardinalidad de la base era siempre uno. En este caso, sin embargo, no consigo ver cómo deben ser esos mapas. Agradecería alguna pista sobre cómo abordar este problema.

Answer 1

Ampliando el comentario de Thomas, el mapa $H\colon X\times I\to X$ dado por $H(x,t)=x$ para $0\leq t<1$ y $H(x,1)=x_0$ para un $x_0\in X$ da una homotopía del mapa identidad al mapa constante (¡comprueba que es continua!). Esto significa que $X$ es homotópicamente equivalente al espacio unipuntual $*$ y como la homología singular es un invariante de homotopía, resulta que $X$ tiene la misma homología que $*$ . Por lo tanto, $H_0(X;\mathbb{Z})=\mathbb Z$ y $H_n(X;\mathbb{Z})=0$ para $n>0$ .