toda la función tal que$f(0)=0$

Question

Deje $f$ ser un no constante de la función que cumplen las siguientes condiciones :

1. $f(0)=0$
2. Para todos los reales positivos $M$, la $\{z: \left|f(z)\right|<M\}$ está conectado.

Demostrar que $f(x)=cz^n$ para algunas constantes $c$ y un entero positivo $n$..

No sé por dónde empezar...

Deje $f(z)=a_nz^n+\cdots+a_1z+a_0$ ser función que satisface las condiciones dadas... Como $f(0)=0$ tenemos $a_0=0$ $f(z)=a_nz^n+\cdots+a_1z$..

Quería comprobar lo que va mal en caso de $f(z)=z^2+z$...

Quiero comprobar si el conjunto dado es para esto, pero falló en hacerlo..

Por favor, sólo dan consejos...

EDITAR :

Como $f$ no es función constante, su cero es aislado.. Así, existe un $r>0$ tal que $f$ es distinto de cero en $B_r=\{z:|z|<r\}$... yo estaba pensando en conectar este a la conexión de $\{z: \left|f(z)\right|<M\}$..

Answer 1

Podemos escribir $f(z) = z^kg(z)$ algunos $k\in \mathbb N,$ donde $g$ es todo y $g(0)\ne 0.$ Elija $r>0$ tal que $g\ne 0$ $\{|z|\le r\}.$ $m= \min_{|z|=r}|g(z)|>0.$ El conjunto conectado a$\{|f(z)| < m\}$, lo que contiene $0$ y no se cruzan ${|z|=r}.$ por lo Tanto $\{|f(z)| < m\}\subset \{|z|<r\}.$ Se sigue que $f$ tiene sólo un cero, a saber, el de la $0.$ por lo tanto $g(z)$ nunca se desvanece.

Tenemos $|z^kg(z)|\ge m$ $|z| > r.$ $|1/g(z)| \le |z|^k/m$ $|z| > r.$ Porque $1/g$ es todo, podemos entonces decir $|1/g(z)| \le C +|z|^k/m, z\in \mathbb C,$ para algunas constantes $C.$ $1/g$ es toda una función cuyo módulo es acotado por un polinomio en $|z|.$ Como es bien sabido, que implica la $1/g$ es un polinomio. Desde $1/g$ no tiene ceros, debe ser constante. Por lo tanto, $g$ es una constante $\alpha$, y tenemos $f(z) =\alpha z^k$ como se desee.

Answer 2

Podemos suponer que la $$ f(z)=cz^n(1+c_1z+c_2z^2+\cdots)=cz^ng(z), $$ donde $c>0$ (por simplicidad) y $g(z)$ no tiene ceros en $|z|\le r_0$ positivos $r_0$. Además, hay un positivo $r_1<r_0$ tal que \begin{align} |f(z)|>\frac{c{r_1}^n}{2} \quad \text{on}\,\;|z|=r_1,\tag{1} \end{align} desde $|g(z)|\to 1$ $(\,z\to 0\,)$.

Deje $M=\displaystyle\frac{c{r_1}^n}{2}$$A=\{z:\, |f(z)<M\}$.
Si $g(z_0)=0$ para un punto de $z_0\,(\,|z_0|>r_0\,)$, $A$ contiene $0$$z_0$, y por lo tanto, por la conexión que existe una curva de $\gamma \subset A$ unirse a $0$$z_0$. Pero esto es imposible por $(1)$.
Por lo tanto, $g(z)\ne 0$ y, por tanto, podemos escribir $g(z)=e^{-h(z)}$ , $h(z)=\sum_{k=1}^\infty a_kz^k$.

Supongamos que existe $a_k\ne 0$. Deje $H(r)=\max_{|z|=r} \operatorname{Re}\, h(z)$. A continuación, como es bien conocido $$ |a_k|r^k\le \max\{ 4H(r), 0\}-2\operatorname{Re}\, h(0)= 4H(r).$$ Por lo tanto, tenemos \begin{align} \min_{|z|=r} |g(z)|&=\min_{|z|=r} \left|e^{-h(z)}\right|=e^{-H(r)}\le e^{-|a_k|r^k/4}. \end{align}

Por lo tanto para suficientemente grande $r$ hemos $$ |f(z_0)|\le cr^n\cdot e^{-|a_k|r^k/4}<M$$ en un punto de $z_0$$|z|=r$. A continuación, $A$ contiene $z_0$, pero es imposible.
Por lo tanto todos los $a_k=0$ y tenemos $f(z)=cz^n$.

Answer 3

Supongamos $f$ tiene series de Taylor $$ f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nz^n \quad\text{y }\quad g(z) =f(1/z) =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_n}{z^n} $$ Si $f$ no es polinomio, entonces $\infty$ es una singularidad esencial de $f$ ($0$ es una singularidad esencial de $g$). Por Casorati-Weierstrass teorema, para $0\in \Bbb{C}$, hay una secuencia $z_n'\to0$ tal que $\lim_{n\to\infty}g(z_n')=0$, es decir, $z_n=1/z_n'\to\infty$ tal que $\lim_{n\to\infty}f(z_n)=0$. Esto significa que $f$ siempre ha $z_0$ que $f(z_0)=0$ cerca de $\infty$.

A partir del cero de la analítica de la función es aislado y $f(0)=0$, por la elección de $M$, de modo que $z_0\in \{z: \left|f(z)\right|<M\}$ $(0\in \{z: \left|f(z)\right|<M\}$ es evidente$)$, llegamos a la conclusión de que $\{z: \left|f(z)\right|<M\}$ no puede ser conectado porque $z_0$ $0$ están separados. Por lo tanto $f$ debe ser polinómica.

Si $f$ tiene un valor distinto de cero de la raíz, es decir,$f(z_1)=0,\: z_1\ne 0$, $\{z: \left|f(z)\right|<M\}$ $z_1$ no puede ser conectado para $z_1$ $0$ están separados. Por lo $f(z)=0$ sólo tiene cero de la raíz. Por lo tanto llegamos a la conclusión de que $f(z)=cz^n$.