Cómo calcular el determinante simétrico

Question

Estoy aprendiendo de determinantes y estoy tratando de encontrar un truco para calcular este

- {- {pmatrix}}

Lo expandí y conseguí$349$, pero siento que debe haber algún truco para calcularlo fácilmente.

Answer 1

Utilice las siguientes reglas:

1. La adición de un múltiplo de una fila a otra fila no cambia el determinante.
2. Si $B$ se obtiene mediante la multiplicación de una fila de $A$ por una constante $c$ $\det B=c \det A$

Empezar restando la primera fila de cada una de las otras filas, obtenemos $$A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 & 1 & 1\\ -1 & 2 & 0 & 0 & 0\\ -1& 0 & 3 & 0 & 0\\ -1 & 0 & 0 & 4 & 0\\ -1 & 0 & 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}$$ which has the same determinant as your matrix. Even just doing this makes the determinant much easier to calculate but we can go further. Divide the second, third, fourth and fifth rows by their corresponding diagonal term, we get $$B=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 & 1 & 1\\ -1/2 & 1 & 0 & 0 & 0\\ -1/3& 0 & 1 & 0 & 0\\ -1/4 & 0 & 0 & 1 & 0\\ -1/5 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ which by rule #$2$, has determinant $\det B =\frac 1{120}\det$. Finalmente, resta cada una de las otras filas de la primera fila, obtenemos $A$B'=\begin{pmatrix} 147/60 & 0 & 0 & 0 & 0\\ -1/2 & 1 & 0 & 0 & 0\\ -1/3& 0 & 1 & 0 & 0\\ -1/4 & 0 & 0 & 1 & 0\\ -1/5 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ where $\det B'=\det B$ by rule #$1$. This is a lower triangular matrix so the determinant is simply the product of the diagonal elements, i.e. $\det B' = 147/60$. Therefore $$\det A = 120 \det B=120 \det B' =120 \cdot \frac{147}{60}=394.$$ generalmente Este es el camino a seguir si usted es el cálculo de determinantes de matrices grandes con la mano, sólo asegúrese de mantener un registro de cada vez que multiplicar una fila por algo así que usted puede volver a la original determinante. También, la simétrica de la propiedad hace que la fila de reducción de la más fácil, pero se puede hacer este procedimiento para cualquier matriz.

Answer 2

Su matriz está en una muy buena forma. Como una alternativa a la respuesta, puede utilizar el determinante de la matriz de lema , en este caso, para hacer el cálculo bastante limpia.

Deje $\mathbf{M}$ ser la matriz proporcionada. Entonces $\mathbf{M}$ = $\mathbf{A} + \mathbf{j}\mathbf{j^t}$, donde $$ \mathbf{A} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 3 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 4 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 5 \end{pmatrix} $$ y $$ \mathbf{j} = \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 1\\ 1\\ 1 \end{pmatrix}. $$ A partir de la aplicación de la lema, tenemos que $\text{det}(\mathbf{M}) = (1 + \mathbf{j^tA^{-1}j}) \ \text{det}(\mathbf{A})$.

Desde $\mathbf{A}$ es diagonal, en este caso, el factor determinante es muy fácil de calcular. Es sólo $5*4*3*2*1=120$. Por otra parte,

$$ \mathbf{A^{-1}} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & \frac{1}{4} & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{5} \end{pmatrix} $$ y desde $\mathbf{j}$ es sólo un vector de unos, es fácil ver que $$\mathbf{j^tA^{-1}j} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5}$$.

Así, vemos que

$$ \text{det}(\mathbf{M}) = (1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5}) * 120 = 394$$ después de aplicar la simplificación o una calculadora.