Pruebalo $\int_{0}^{1} |p(x)| dx \leq \frac{\pi}{2} $

Question

Deje que el polinomio $p(x)= a_0 + a_1 x + . . . + a_n x^n$ tienen coeficientes de satisfacción de la relación $$\sum_{i=1}^{n} a_i^{2} = 1$ $

Demostrar que $\int_{0}^{1} |p(x)| dx \leq \frac{\pi}{2} $.

No tiene ninguna idea para probar esta desigualdad, hay cualquier referencia al estudio sobre la integración de polinomio?

Answer 1

$x\in [0,1)$, Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz , $$|p(x)|^2\leq \sum_{i=0}^{n} a_i^{2}\cdot \sum_{i=0}^{n} x^{2i}\leq \frac{1}{1-x^2}.$ $ ahí $$\int_{0}^{1} |p(x)| dx \leq \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx=\frac{\pi}{2}.$ $

P.D. supongo que $\sum_{i=0}^{n} a_i^{2} \leq 1$. Si contamos con el más débil condición $\sum_{i=1}^{n} a_i^{2} = 1$ la desigualdad no tiene. Tomemos por ejemplo $p(x)=2$.