¿Podemos siempre expresar el hamiltoniano EM campo como (posiblemente dependiente del tiempo) par de los operadores de aniquilación y creación?

Question

El EM-Campo Hamiltoniano es, en principio, un funcional (con un operador seleccionado el pedido) que se define en el operador de los campos de $\hat{A}(x)$$\partial_\mu \hat{A}$. Si lleva a cabo los cálculos y el uso de las definiciones de $\hat{B}$$\hat{E}$, se llega a: $$ \hat{H} = \int d^3x \frac{\epsilon_0}{2} (\hat{\vec{E}}^2 + c^2 \hat{\vec{B}}^2) $$ Voy a tomar esto como la Definición de los Hamiltonianos en futuros cálculos. Para el campo libre, el Ansatz $\hat{\vec{A}} = \vec{e}(\hat{a_{\vec{k}}}e^{i(\vec{k}\vec{x} - \omega_{\vec{k}}t)} + \hat{a_\vec{k}}^\dagger e^{-i(\vec{k}\vec{x} - \omega_{\vec{k}}t)})$ satisface esta ecuación de onda. El uso de la linealidad, se puede superponer todas las soluciones, enchufe en la definición de la hamiltoniana, y llega a: $$ \hat{H} = \sum_{\vec{k}, \vec{\lambda}} \hat{a}_{\vec{k}, \lambda}^{\daga}\hat{a}_{\vec{k}, \lambda} \omega_{\vec{k}} \manejadores $$

Ahora mi pregunta es: ¿puedo utilizar este Hamiltoniano en una interacción de la teoría? (Por ejemplo, una EM-el Campo junto a un átomo). Estoy preguntando, porque las ecuaciones de onda que la de Heisenberg a los operadores a hacer el cambio. La superposición de la creación y aniquilación de los operadores, como se muestra arriba, ya no es una solución a la ecuación de campo, por lo que no puedo expresar $\vec{E}$ $\vec{B}$ no, simplemente utilizando $\hat{a}$$\hat{a}^{\dagger}$? Cómo puedo motivar a $$ \hat{H} = \sum_{\vec{k}, \vec{\lambda}} \hat{a}_{\vec{k}, \lambda}^{\daga}\hat{a}_{\vec{k}, \lambda} \omega_{\vec{k}} \manejadores $$ a la derecha de Hamilton?

EDIT: para mí está claro que en el caso de la Interacción, habrá un adicional de Término de Interacción, por ejemplo, algo como $\hat{\vec{x}} \hat{\vec{E}} \frac{e}{\hbar}$. Yo tengo claro de que hecho. Sin embargo yo quiero saber si se puede expandir siempre cantidades como $\hat{\vec{E}}$ en Términos de creación y aniquilación de los operadores. Por ejemplo: El Hamiltoniano para un electrón que interactúan con EM-Campo sería (suponiendo que dipolo aproximación): $$ \hat{\vec{p}} \frac{1}{2m} + V(\hat{\vec{x}}) + \hat{\vec{x}} \hat{\vec{E}}(\vec{x}_{Átomo}) \frac{e}{\manejadores} +\int d^3x \frac{\epsilon_0}{2} (\hat{\vec{E}}^2 + c^2 \hat{\vec{B}}^2)$$

Quiero saber si esto puede en general ser expresado mediante la creación y la aniquilación de los operadores, en lugar de $\hat{\vec{E}}$$\hat{\vec{B}}$, como por ejemplo: $$ \hat{\vec{p}} \frac{1}{2m} + V(\hat{\vec{x}}) + \hat{\vec{x}} \hat{\vec{E}}(\vec{x}_{Átomo}) \frac{e}{\manejadores} + \sum_{\vec{k}, \vec{\lambda}} \hat{a}_{\vec{k}, \lambda}^{\daga}\hat{a}_{\vec{k}, \lambda} \omega_{\vec{k}} \manejadores$$

Answer 1

En un espacio de Fock, cada operador puede ser expresado en términos de creación y aniquilación de los operadores, aunque por lo general no aparecen nonquadratic términos. Este es el tema de la segunda cuantización, y se puede hacer matemáticamente rigurosa.

Sin embargo, en una interacción de la teoría, en el espacio de Hilbert no es un espacio de Fock (Haag teorema: la interacción de la imagen no existe), por lo tanto, una descripción en términos de creación y aniquilación de los operadores (que actúan en espacios de Fock sólo) ya no es significativo. El intento de hacerlo conduce a la conocida infinitos. Renormalization destruye el espacio de Fock y con ella la expresión de la Hamiltoniana y otros generadores del grupo de Poincaré en términos de creación y aniquilación de los operadores.

Nota: siempre se puede construir la interacción de la imagen en la mecánica cuántica con un número finito de clásicos grados de libertad. Pero en la teoría cuántica de campos relativista de la correspondiente sería unitaria transformación no existe porque no se aparta violentamente cuando el punto de corte de una regularización de la versión se quita, y a diferencia de la S-elementos de la matriz, renormalization no rescatar a la situación. Esto se llama Haag del teorema. Un completo tratamiento moderno se da en la tesis doctoral de Lutz Klaczynski (2016). Ver también [este PhysicsOverflow discusión] (https://www.physicsoverflow.org/22400).

Answer 2

OP es preguntar si una expresión de la forma $$ \hat{H} = \manejadores\sum_{\vec{k}, \vec{\lambda}} \hat{a}_{\vec{k}, \lambda}^{\daga}\hat{a}_{\vec{k}, \lambda} \omega_{\vec{k}} $$ sostiene que en una interacción de QFT. La respuesta es, en general,

No.

Para una cosa, un Hamiltoniano no sería, en general, ser independiente del tiempo, por cuanto $$ \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}a_{\vec k,\lambda}(t)\neq 0 $$

Por ejemplo, para una de Klein-Gordon campo, $$ \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}a_{\vec k}(t)\sim\int \mathrm dx\ (\partial^2+m^2)\phi $$ mientras que en el campo de Dirac, $$ \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}a_{\vec k,\lambda}(t)\sim\int\mathrm dx\ (\no\!\parcial+im)\psi $$ ni de que se desvanece en la interacción de las teorías. Estas fórmulas son muy importantes en la dispersión de la teoría y se pueden encontrar, por ejemplo, en Srednicki del libro en QFT (§§ 5, 41).

Esto demuestra que, en general, la interacción de Hamilton no puede ser expresado como una función cuadrática de la creación y aniquilación de los operadores. El primero es independiente del tiempo, mientras que los segundos no.

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Cabe mencionar, sin embargo, que si respecto a todos los objetos como la interacción de la imagen de los operadores (en lugar de Heisenberg), luego de una expansión de las $H$ en términos de creación/aniquilación de los operadores es válido, pero tiene términos de orden superior en estos objetos (porque no es libre teorías incluyen la creación y la aniquilación de los fenómenos, donde varias partículas dispersan en otras partículas). Esta expansión es válido, de hecho, para cualquier operador, en cualquier teoría. La prueba de esta afirmación se puede encontrar en el libro de Weinberg en QFT, §4.2.