Ecuación con solución en números primos

Question

¿Cuántas soluciones existen para la ecuación de $x^y-y^x=x+y$ donde $x$ y $y$ son prime?
He encontrado un $2^5-5^2=2+5$ y no estoy seguro si es la única solución...

Answer 1

Para más claridad conjunto $x \mapsto p$, $y \mapsto q$ ($p$, $q$ el primer nuumbers). Así queremos encontrar las soluciones de $p^q - q^p = p + q$.

Si $p = q$ la ecuación se convierte en $p^p - p^p = 2p \implies 0 = 2p$, lo que claramente no tiene soluciones. Así que a partir de ahora suponga $p \ne q$.

Modulo $p$ tenemos $-q^p \equiv q \pmod{p}$. Pero por Fermat poco teorema $q^p \equiv q \pmod{p}$, ya que el $p \ne q$. A continuación, $q \equiv -q^p \equiv -q \pmod{p}$ o $2q \equiv 0 \pmod{p}$ o $p \mid 2q$. De nuevo, desde el $p \ne q$ tenemos que $p \nmid q$, por lo tanto se debe ser $p \mid 2 \implies p = 2$.

Ahora nos quedamos con la solución de $2^q - q^2 = q + 2$. Se puede demostrar por inducción (me lo dejó a usted como un ejercicio) que $2^n > n^2 + n + 2$$n \ge 6$. Por lo tanto podemos comprobar con la mano los casos de $q \in \{2, \: 3, \: 5\}$ y el estado que la única solución es, de hecho, $(p, \: q) = (2, \: 5)$.

Answer 2

Supongamos que $p$ y $q$ son primos tales que $p^q - q^p = p+q$; evidentemente podemos asumir $p\neq q$, ya que de lo contrario nos $p+q = 0$. Tomando el mod $p$ da $$-q^p \equiv q \pmod{p}.$$ Since $p\neq q$, by Fermat's little theorem we also have $$q^{p} \equiv q \pmod{p} \implies q \equiv -q \pmod{p} \implies 2q \equiv 0 \pmod{p}.$$ Hence we have $p = 2$. Thus, $2 ^ q = q ^ 2 + q + 2$. But for any $x > 5$, we have $2 ^ x > x ^ 2 + x + 2$. It follows that $q \le 5$. Checking all the possibilities for $q$ now reveals that $(p,q) = (2.5)$ es la única solución posible.