Normalmente, la fórmula del área de la esfera es $4 \pi r^2$ .
Mi esfera está dentro de una malla cúbica regular, con celdas de 1×1×1 de tamaño unitario.
Me gustaría saber el número de celdas de la cuadrícula que se cruzan con la superficie de mi esfera. Sólo necesito la respuesta aproximada, para valores grandes de $r$ .
Intuitivamente, esto va a ser $4 \pi r^2 C$ , donde $C$ es una constante.
¿Cuál es el valor de $C$ ?
La siguiente heurística hace que el valor $C={3\over2}$ plausible:
Considere una esfera $S_R$ de radio $R\gg1$ . Los planos de la red $x=j\in{\mathbb Z}$ , $y=k$ o $z=l$ intersección $S_R$ en círculos que juntos dividen $S_R$ en una serie de celdas de diversas formas. Tenemos que estimar el número de estas celdas.
Mirando desde $(0,0,+\infty)$ hasta $S_R$ vemos sobre $\pi R^2$ cuadrados de la unidad. Son proyecciones de cuadriláteros sobre $S_R$ producido por los aviones $x=j$ y $y=k$ , y hay otros $\pi R^2$ tales cuadrados que se ven en el hemisferio inferior.
El círculo de latitud $z=l$ tiene un radio $r_l=\sqrt{R^2-l^2}$ . Se cruza alrededor de $2r_l$ aviones $x=j$ y $2r_l$ aviones $y=k$ generando alrededor de $8r_l$ puntos de intersección. Cada arco entre dos puntos sucesivos de este tipo biseca un " $xy$ -cuadrilátero", por lo que aumenta el número de celdas en $1$ . La contribución total obtenida de esta manera es de aproximadamente $$\sum_{l=-R}^R 8 r_l\doteq 4\sum_{l=-R}^R 2\sqrt{R^2-l^2}\doteq4\pi R^2\ ,$$ ya que la última suma es una suma de Riemann para el área de un disco de radio $R$ .
De ello se deduce que el número total de células puede estimarse como $$2\pi R^2+4\pi R^2={3\over2}\cdot4\pi R^2\ .$$
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