¿Por favor me dais alguna información sobre la medida de Haar en grupo orthogonal especial SO(n) y grupo orthogonal especial indefinida SO(n,m)?
¡Muchas gracias!
Respuesta
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seanyboy
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La medida de Haar en $SO(n)$ puede ser descrito inductivamente como sigue.
Deje $\{e_1,\ldots,e_n\}$ ser un ortonormales base para $\mathbb{R}^n$, y deje $H$ ser el stabsubgroup de $SO(n)$ que corrige $e_n$. Tenga en cuenta que $H$ es isomorfo a $SO(n-1)$, por lo que tiene una medida de Haar, que ya sabemos.
Ahora, si $g_1,g_2\in SO(n)$, $g_1H = g_2H$ si y sólo si $g_1(e_n)=g_2(e_n)$. Por lo tanto, el coset espacio de $SO(n)/H$ es isomorfo a la esfera $S^{n-1}$. Esta esfera también tiene un agradable, bien conocido medida.
Ahora, vamos a $f\colon S^{n-1}\to SO(n)$ ser mensurable de la función que elige una transversal para cada coset. Esto es, para cualquier punto de $p$ en la esfera, $f(p)$ debe ser un elemento de $SO(n)$ que se asigna a$e_n$$p$. Este transversales no necesita ser continua---sólo medible. A continuación, la medida de un subconjunto medible $X\subseteq SO(n)$ está dado por la fórmula $$ \mu_ {(n)}(X) \;=\; \int_{S^{n-1}} \mu_{H}\bigl(f(p)^{-1}(X\cap f(p)H)\bigr)\; d\mu_{S^{n-1}}(p) $$ donde $\mu_H$ denota la medida de Haar en $H$, e $\mu_{S^{n-1}}$ denota la medida estándar en $S^{n-1}$.
Es útil? Hay que (se supone) una descripción alternativa que involucra el Jacobiano de la exponencial mapa de $\mathfrak{so}(n) \to SO(n)$, si que sería mejor.
Yo no sé mucho acerca de la medida de Haar para $SO(n,m)$ de descuento en la parte superior de mi cabeza, pero no debe ser inductivo descripción es similar a la descripción anterior.
