Cómo demostrar el número máximo posible de elementos de $S$ es $48$ ?

Question

Sea el conjunto $S\subseteq \{1,2,3,\cdots,100\}$ para dos $a,b\in S$ existen enteros positivos $k$ y $c,d\in S(c<d)$ ,( $c,d$ puede ser igual a $a$ o $b$ ), tales como $$a+b=c^k\cdot d$$ s $$\max|S|=48$$

He encontrado este ejemplo es tal, y no es fácil de probar cuando $$S=\{1,2,3,4,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,\cdots79,81,83,85,87,89,91\}\Longrightarrow |S|=48$$ Porque $a,b$ son impar(pares),entonces $$4\le a+b\le 89+91$$ Sea $c=2,d=\dfrac{a+b}{2^k}$

si $a$ impar, $b$ es par, entonces $$3\le a+b\le 95$$ toma $c=1,k=1,d=a+b$ hold.But Cómo probar por qué el máximo el número es $48$ ?

Answer 1

Como se señala en @YuvalFilmus tenemos un límite superior de $50$ porque necesitamos evitar una suma de $101$ así que de todos $50$ pares distintos en el rango que suman este valor, podemos tener como máximo uno de ese par.

Sin embargo, una vez observada esta restricción, parece que sí podemos seleccionar $50$ números como miembros de $S$ , dando $\max|S| = 50$ en contradicción con la afirmación . Todos los números impar excepto $99$ y $2$ .

$$\{1,2,3,5,7,9,11,...,95,97\}$$

Ahora para $a,b$ ambos impar, tomamos $c=2$ y $k$ como la multiplicidad de $2$ como factor de $a+b$ , para dejar un número impar en el rango como $d$ . Sabemos que $d$ forma parte de $S$ porque $\frac{a+b}{2} < 97 = \max S$ .

Para $\{a,b\} = \{2,97\} $ podemos tomar (por ejemplo) $c=9, k=1, d=11$

Para cualquier otra suma que implique $2$ podemos tomar $c=a+b, k=1, d=1$ .