$a,b,c$ son los números reales $>0$. Si $a+b+c=1$, muestra que el $(a+\frac{1}{a})^2+(b+\frac{1}{b})^2+(c+\frac{1}{c})^2\ge\frac{100}{3}$

Question

$a,b,c$ son los números reales $>0$. Si $a+b+c=1$, muestran que

$$(a+\frac{1}{a})^2+(b+\frac{1}{b})^2+(c+\frac{1}{c})^2\geq\frac{100}{3}$$

Answer 1

Es convexo en $f(x) =(x+x^{-1} )^2 $ por lo tanto la función $(0,\infty) $ $$ \frac{1}{3} (f(a) +f(b) +f(c))\geq f(\frac{a+b+c}{3}) =(3+3^{-1} )^2 $ $

Answer 2

Que $f(x)=(x+{1 \over x})^2$ y tenga en cuenta que $f'$ está aumentando terminantemente en $(0,\infty)$.

Que $\phi(x) = \{ f(x_1)+f(x_2)+f(x_3)$ y $\min \{ \phi(x) | \sum_k x_k = 1, x_i \ge 0 \}$ tener en cuenta. Ya que $\phi(x)$ es ilimitada si cualquier componente de $x$ acerca a cero, y el simplex es compacto, vemos que el problema tiene una solución $\hat{x}$ y $\hat{x}_k >0$ % todos $k$. Por lo tanto podemos aplicar multiplicadores de Lagrange para obtener un $\lambda $ tal que $f'(\hat{x}_k) + \lambda = 0$ % todo $k$y por lo tanto $f'(\hat{x}_1) = f'(\hat{x}_2) =f'(\hat{x}_3) $.

$f'$ Es inyectiva, vemos que el $\hat{x}_1 = \hat{x}_2 =\hat{x}_3 $ y por lo tanto $\hat{x}_1 = \hat{x}_2 =\hat{x}_3 = {1 \over 3}$ de que conseguimos $\phi(x) \ge \phi(\hat{x}) = 3 f'({1 \over3}) = {100 \over 3}$.