La dimensión del centralizador de una Matriz.

Question

Dejemos que $A$ ser un $n\times n$ matriz con polinomio característico $$(x-c_{1})^{{d}_{1}}(x-c_{2})^{{d}_{2}}...(x-c_{k})^{{d}_{k}}$$ donde $c_{1},c_{2},...,c_{k}$ son distintos. Sea $V$ sea el espacio de $n\times n$ matrices $B$ tal que $AB=BA$ . ¿Cómo encontrar la dimensión de este espacio vectorial? Es evidente que es fácil encontrar la dimensión si la matriz $A$ es diagonalizable pero cómo encontrar la dimensión si la matriz $A$ no es diagonalizable. Lo he intentado utilizando la forma canónica de Jordan pero es muy larga y sólo da las posibles dimensiones. ¿Puede alguien sugerir cómo encontrar dando una matriz particular.

Answer 1

Y, por si te lo estabas preguntando, aquí tienes el caso de dos bloques de tallas Jordan $3$ y $2$ . El centralizador de $$ \left[ \begin {array}{ccccc} \lambda&1&0&0&0\\0&\lambda&1&0&0 \\ 0&0&\lambda&0&0\\ 0&0&0&\lambda&1 \\ 0&0&0&0&\lambda\end {array} \right] $$ consiste en matrices de la forma $$ \left[ \begin {array}{ccccc} b_{{3,3}}&b_{{2,3}}&b_{{1,3}}&b_{{2,5}}& b_{{1,5}}\\ 0&b_{{3,3}}&b_{{2,3}}&0&b_{{2,5}} \\ 0&0&b_{{3,3}}&0&0\\0&b_{{5,3}} &b_{{4,3}}&b_{{5,5}}&b_{{4,5}}\\0&0&b_{{5,3}}&0&b_{ {5,5}}\end {array} \right] $$ De forma más general, si se tienen bloques jordanos con el mismo valor propio para los índices $i, \ldots, j$ y $k, \ldots, l$ Para una matriz en el centralizador el bloque formado por filas $i,\ldots, j$ y columnas $k, \ldots, l$ será "triangular superior" (es decir $0$ para $row - column > \min(i-k, j-l)$ ) y constante en las diagonales. La dimensión de este bloque es entonces $\min(l-k+1,j-i+1)$ y hay que sumarlo para todos los bloques.

Answer 2

He aquí un ejemplo con dos bloques de Jordan que tienen el mismo valor propio. Si tuviéramos un solo bloque de Jordan, la dimensión resultante sería exactamente $4,$ pero esto sale un poco más grande.

$$ \left( \begin{array}{rr|rr} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrrr} a & b & c & d \\ e & f & g & h \\ i & j & k & l \\ m & n & o & p \end{array} \right) = \left( \begin{array}{rrrr} e & f & g & h \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ m & n & o & p \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) $$

$$ \left( \begin{array}{rrrr} a & b & c & d \\ e & f & g & h \\ i & j & k & l \\ m & n & o & p \end{array} \right) \left( \begin{array}{rr|rr} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{rrrr} 0 & a & 0 & c \\ 0 & e & 0 & g \\ 0 & i & 0 & k \\ 0 & m & 0 & o \end{array} \right) $$

A primera vista, obtengo ocho ecuaciones lineales necesarias para la igualdad, $$e,g,m,o = 0, \; a=f, c=h, i=n,k=p. $$

Fuera de $16,$ lo que queda es la dimensión $8.$

$$ \left( \begin{array}{rr|rr} a & b & c & d \\ 0 & a & 0 & c \\ \hline i & j & k & l \\ 0 & i & 0 & k \end{array} \right) $$ Dimensión $8$ por cuatro pequeños bloques de 2 por 2 Jordan dispersos.

Answer 3

No creo que haya una manera fácil de hacer esto. Estoy de acuerdo con el comentario anterior de que deberías jugar con diferentes matrices tú mismo. Lo añado sobre todo para que tengas una referencia. Ver: Nilpotent Orbits in Semisimple Lie Algebras by Collingwood, McGovern, Theorem 6.1.3. El enunciado es:

Dejemos que $A$ sea una matriz nilpotente, es decir, los valores propios son todos cero. Su forma normal de Jordan viene dada por una partición de $n$ , digamos que $d_1 + \cdots + d_k$ . Entonces, se tiene que la dimensión del centralizador es $$\sum s_i^2$$ donde $s_i = |\{j \mid d_j \geq i\}|$ . Ahora se puede generalizar esta fórmula a una matriz general $A$ en forma normal de Jordania (los bloques con diferentes valores propios no interactúan -- se puede comprobar rápidamente si se piensa en $A$ como actuar mediante operaciones de columna/fila), para obtener $$\sum_\lambda \sum_i s_{i, \lambda}^2$$ donde $\lambda$ abarca todos los valores propios (generalizados) y $s_{i, \lambda}$ como en el caso anterior.

Edición para expertos: Bien, entonces, la forma en que yo haría esto en general, es para un elemento nilpotente $x$ , encontrar $h$ tal que $[h, x] = 2x$ . Se puede hacer esto por separado para cada bloque de Jordan; si $x$ es un bloque de Jordan, entonces $h = diag(k, k-2, k-4, \ldots, 4-k, 2-k, -k)$ . Se puede completar esto a un $\mathfrak{sl}_2$ triple tomando $y = x^t$ es decir $(x, y, h)$ es una copia de $\mathfrak{sl}_2$ . Entonces, podemos descomponer $\mathfrak{g}$ en los espacios eigéneos para $ad(h)$ y observe que, de hecho, se trata de espacios eigénicos para varios $\mathfrak{sl}_2$ -representaciones, y los pesos más altos son matados por $x$ (es decir, en los centralizadores). Por lo tanto, queremos contar las representaciones, lo que se puede hacer con algo de combinatoria (dando lugar a la fórmula anterior) o directamente. Por ejemplo, en la respuesta anterior (o inferior), $h = diag(1,-1,1,-1)$ y uno tiene $$\left(\begin{array}{cccc}0&2&0&2\\-2&0&-2&0\\0&2&0&2\\-2&0&-2&0\end{array}\right)$$ donde el número es el $h$ -de ese eigespacio. Contamos con 4 eigenspacios de peso 2, 4 eigenspacios de peso -2 y 8 eigenspacios de peso 0, lo que nos da un total de $4 + (8-4) = 8$ representaciones. Explícitamente, se tiene la descomposición $\mathfrak{g} = V(2)^{\oplus 4} \oplus V(0)^{\oplus 4}$ como $\mathfrak{sl}_2$ representaciones.