El núcleo del grupo libre mapa al grupo de superficie

Question

$G$ es un grupo superficial del género $g\geq 2$ (el grupo fundamental de la cerrada superficie orientable de género g). $F$ es un grupo libre de rango $2g$ $\{x_1,\dots,x_{2g}\}$ de la base. $\phi$ es un homomorfismo de sobreyectiva de $F$ $G$ tal genera que $G$ $\phi(x_1),\dots,\phi(x_{2g})$.

1. ¿Qué podemos decir sobre el núcleo de $\phi$?

2. ¿Es siempre el cierre normal de un elemento $r$ $F$?

3. ¿Podemos escribimos $r$ explícitamente si es?

Answer 1

Como he dicho en los comentarios anteriores, esto tiene una solución positiva debido a un reciente preprint de Lars más Fuerte, el cual puede ser encontrado aquí. El artículo se demuestra que la superficie de los grupos tienen una "sola Nielsen clase de equivalencia de la generación de $2g$-tuplas". Voy a explicar lo que esto significa, y, a continuación, voy a explicar por qué esto resuelve el problema. (En los comentarios de abajo, Lars más Fuerte ha señalado que el citado resultado es debido a Zieschang por género,$g\neq 3$, y que sus resultados son mucho más general).

Deje $(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ ser una generación tupla de un grupo de $G$. Entonces es claro que todas las permutaciones de esta tupla son la generación de tuplas $G$, como se $(x_1^{-1}, x_2, \ldots, x_n)$$(x_1x_2, x_2, \ldots, x_n)$. Estas alteraciones corresponden a Nielsen transformaciones, o, equivalentemente, a automorfismos de la libre grupo de $F(x_1, \ldots, x_n)$. De hecho, el de Nielsen transformaciones he descrito anteriormente generar todos Nielsen transformaciones, es decir, si usted repite las anteriores modificaciones, a continuación, obtener todos los de la "obvia" la generación de tuplas $G$, por ejemplo si $n=3$ $(x_1^{-1}, x_2x_1x_3, x_2x_1)$ va a ser obtenido, y así sucesivamente. Si dos empresas generadoras $n$-tuplas puede obtenerse de la otra, en este sentido, se dice que son Nielsen equivalente. Que la partición de la generación de tuplas en Nielsen clases de equivalencia.

Fix $G=\langle y_1, z_1, \ldots, y_g, z_g; [y_1, z_1]\cdots [y_g, z_g]\rangle$. Lo que Lars más Fuerte han demostrado es que si $\mathcal{L}_1=(x_1, x_2, \ldots, x_{2g})$ genera $G$ (tenga en cuenta que cada una de las $x_i$ denota una palabra sobre$y_{\ast}$$z_{\ast}$), a continuación, $\mathcal{L}$ puede ser obtenido a partir de la norma de generación de tupla $\mathcal{L}_0=(y_1, z_1, \ldots, y_g, z_g)$. Es entonces un ejercicio fácil ver que cuando se vaya de la generación de tupla $\mathcal{L}_0$ $\mathcal{L}_1$a través de su Nielsen transformación de $\phi$, por lo que $\phi(y_1)=x_1$, $\phi(z_1)=x_2$, etc. se puede obtener el siguiente a la presentación de $G$. $$\langle y_1, z_1, \ldots, y_{g}, z_g; [x_1, x_2]\cdots [x_{2g-1}, x_{2g}]\rangle$$ Recordemos que cada una de las $x_i$ denota una palabra sobre$y_{\ast}$$z_{\ast}$, por lo que esta presentación tiene sentido.

Hay algunos viejos resultados en una vena similar a partir de los años 70. Por ejemplo, Steve Orgullo demostrado que una composición de dos generadores, uno-relator en grupos con la torsión tiene un solo Nielsen clase de equivalencia de la generación de pares (y esto resuelve el problema de isomorfismo para grupos), mientras que a la misma hora Brunner demostrado que la Baumslag-Solitar grupo $BS(2, 3)=\langle a, t; t^{-1}a^3t=a^3\rangle$ tiene infinidad de Nielsen de clases de equivalencia de la generación de pares. De hecho, Brunner demuestra algo más fuerte. Dos de generación de tuplas $(x_1, \ldots, x_n)$ $(y_1, \ldots, y_n)$ de un grupo de $G$ se dice que se encuentran en el mismo T-sistema es que existe una automorphism $\phi$ $G$ tal que $(\phi(x_1), \ldots, \phi(x_n))$ Nielsen es equivalente a $(y_1, \ldots, y_n)$. Brunner demuestra que $BS(2, 3)$ tiene infinidad de T-systems. (La "T" es la transitividad, si recuerdo correctamente.)