Pensando geométricamente ideales fraccionarios

Question

Así que la geometría algebraica le da a uno una manera de pensar acerca de los anillos geométricamente. Como primer ideales corresponden a puntos en el espectro de un anillo, la máxima ideales están cerrados puntos y así sucesivamente. Esto funciona bien para los anillos como $\mathbb{C}[x_1,..,x_n]$ y el formalismo de un afín esquema que se extiende a otros anillos como$\mathbb{Z}$.

Mi pregunta entonces es ¿cómo debo pensar de las fracciones ideales geométricamente?

Si un ideal de algunos integral de dominio $R$ corresponde a algún conjunto cerrado en $\operatorname{Spec}R$ con menor ideales correspondientes a las grandes conjuntos cerrados, entonces, ¿debería realmente un gran ideal fraccional como $\frac{1}{p} \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$ corresponden a? Tal vez hay un esquema que se puede definir que es mayor que $\operatorname{Spec}Z$ en este caso?

Answer 1

Localmente principales ideas se convierten en local principal ideal poleas, que son lo mismo es invertible poleas equipado con una incrustación $\mathcal L \hookrightarrow \mathcal O_X.$

Localmente principales fracciones de los ideales se convierten en local principal ideal fraccional poleas, que son las mismas cosas que a es invertible poleas equipado con una incrustación $\mathcal L \hookrightarrow \mathcal K_X$ donde $\mathcal K_X$ es la sheaf de funciones racionales en $X$ (con un esquema integral, por ejemplo).

General ideal poleas (digamos en un Noetherian esquema de $X$) son coherentes poleas equipado con una incrustación $\mathcal F \hookrightarrow \mathcal O_X$, y en general fraccionada ideal poleas son sólo coherente poleas equipado con una incrustación $\mathcal F \hookrightarrow \mathcal K_X$.

Así que cuando usted trabaja geométricamente, la única pieza de datos (un ideal o un ideal fraccional) se convierte en dos piezas de datos: un resumen gavilla de $\mathcal O_X$-módulos (invertible, o, más en general, coherente) junto con una incrustación en algunas estándar de la gavilla, $\mathcal O_X$ o $\mathcal K_X$. Olvidar la integración corresponde a la observación de clases de equivalencia de fracciones ideales (en el sentido de que el grupo de clase).

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Este post está relacionado con (a pesar de que trabaja con el concepto doble de las secciones, en lugar de incrustaciones).