¿Por qué un núcleo de función de base radial implica un mapa de dimensión infinita?

Question

Entiendo que cada núcleo implica un mapa de características particular. Por ejemplo, para $x,z \in R^2$ el núcleo $K(x,z)=(\textrm{dot}(x,z))^2$ implica un mapa de características $$\langle\phi(x_1), \phi(x_2)\rangle=\langle [x_1^2 , x_1 x_2 , x_1 x_2, x_2^2], [z_1^2 , z_1 z_2 , z_1 z_2, z_2^2] \rangle$$ como si mis entradas se transformaran de $R^2$ a $R^4$ en el proceso de cálculo $K(x,z)$ .

Los núcleos polinómicos son lo suficientemente claros para verlos de esta manera. Sin embargo, el núcleo de la función de base radial en particular, es decir $K(x,z) = \exp(-\|x-z\|^2/c^2)$ , supuestamente implica una infinitas dimensiones mapa de características. ¿Por qué exactamente?

Answer 1

Intenta expandir la exponencial en una serie infinita, y lo verás. Abu-Mostafa tiene una gran demostración de esto, en su estilo clásico .