Encontré esto en mi libro de cálculo:
$$f\;'(x)= \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$
$$f(x)=x^n$$
$$\begin{align*} (x + h)^n &= (x + h)(x + h)...(x + h)\\ &=x^n + nhx^{n-1}+ \text{stuff involving }h^2\text{ as factor} \end{align*}$$
No entiendo dónde está eso $nhx^{n-1}$ y cosas relacionadas con $h^2$ como factor de procedencia. ¿Un poco de ayuda, por favor?
Consideremos lo que ocurre cuando intentamos ampliar $$ (x+h)^n = (x+h)(x+h)\cdots (x+h) .$$
Para ampliar la RHS, debemos elegir $x$ o $h$ de cada paréntesis, y se multiplican para producir un término. La expansión completa consiste en la suma de los términos producidos sobre todas las combinaciones de nosotros recogiendo $x$ o $h$ de cada soporte.
¿Y si elegimos no $h$ ¿'s de alguno de los paréntesis? Entonces elegimos $x$ cada vez, y el término producido es $x^{n}.$
Ahora, ¿qué pasa si elegimos $h$ ¿exactamente de la categoría 1? Entonces debemos elegir $x$ del otro $n-1$ paréntesis, por lo que el término producido es $hx^{n-1}.$ Ahora bien, si elegimos $h$ exactamente una vez, pero a partir del segundo paréntesis, se produce el mismo término. Podemos elegir nuestro único $h$ de cualquiera de los $n$ paréntesis, lo que significa que todos los términos producidos al elegir exactamente una $h$ suma a $nhx^{n-1}.$
Ahora, hemos considerado lo que sucede si elegimos 0 $h$ (obtenemos $x^n$ ) y 1 $h$ (obtenemos $nhx^{n-1}$ . Todo lo demás debe implicar escoger $h$ al menos dos veces, y si elegimos $h$ dos veces el término producido tiene al menos un factor de $h^2$ en él, explicando las "cosas que implican $h^2$ como un término de "factor".
El teorema del binomio da aquí otra respuesta: $$(x+h)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} x^k h^{n-k}$$
Expandiendo los primeros términos, obtenemos $$(x+h)^n = x^n + \binom{n}{1}hx^{n-1} + \binom{n}{2} x^{n-2} h^{2}+\cdots$$
En todos los términos de los puntos, el poder de $h$ es mayor que 2, por lo que se puede factorizar por $h^2$ . Además $\binom{n}{1} =n$ : $$(x+h)^n = x^n + n h x^{n-1} + h^2 \times ( \cdots ) $$
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