Pequeñas oscilaciones del péndulo doble

Question

A partir de la Lagrangiana he obtenido las siguientes ecuaciones de movimiento para el doble péndulo en 2D. (Las masas son diferentes pero las longitudes de las dos péndulas son iguales.) Sea $m_2$ sea la masa más baja.

$$(m_1+m_2)\ddot{\theta_1}+2m_2\ddot\theta_2\cos(\theta_2-\theta_1)=\\ -2m_2\dot\theta_1\dot\theta_2\sin(\theta_1-\theta_2)-(m_1+m_2)g/l\sin(\theta_1)$$

y

$$m_2\ddot{\theta_1}+2m_2\ddot\theta_2\cos(\theta_2-\theta_1)=\\ 2m_2\dot\theta_1\dot\theta_2\sin(\theta_1-\theta_2)-m_2g/l\sin(\theta_1)$$

En la aproximación de ángulos pequeños se convierten, respectivamente, en

$$(m_1+m_2)\ddot{\theta_1}+2m_2\ddot\theta_2= -2m_2\dot\theta_1\dot\theta_2(\theta_1-\theta_2)-\theta_1(m_1+m_2)g/l$$

y

$$m_2\ddot{\theta_1}+2m_2\ddot\theta_2= 2m_2\dot\theta_1\dot\theta_2(\theta_1-\theta_2)-\theta_1m_2g/l$$ .

La mayoría de las fuentes no tienen los términos de la orden $\dot\theta$ . Esto se debe a que aplican la aproximación de ángulo pequeño a la lagrangiana antes de tomar las derivadas, ignorando así los términos de orden $\theta.$ ¿Qué justificación tenemos para deshacernos de estos términos?

Answer 1

Creo que la cuestión aquí es que necesitas mantener un nivel de aproximación consistente en tu "aproximación de ángulos pequeños". Por ángulos pequeños, típicamente queremos decir $\theta_1$ y $\theta_2$ son ambos de orden $\epsilon$ , donde $\epsilon \ll 1$ . Entonces la pregunta es: ¿en qué orden en $\epsilon$ ¿quieres escribir las ecuaciones del movimiento?

Cuando se descuida el término $\frac{3}{2} \dot\theta_1 \dot \theta_2 (\theta_1 - \theta_2)^2$ en el Lagrangiano, está diciendo que los términos de tamaño $\epsilon^4$ son pequeños en comparación con términos como $\dot \theta_1^2$ que es de tamaño $\epsilon^2$ . En la ecuación del movimiento, se obtienen términos que son $\dot \theta_1 \dot \theta_2 (\theta_1 - \theta_2)$ que son de tamaño $\epsilon^3$ en comparación con $\theta_1$ que es el tamaño $\epsilon$ .

Así que despreciando el término adicional en la lagrangiana se obtiene la misma ecuación de movimiento que si se mantiene toda la lagrangiana y se eliminan los términos de tamaño $\epsilon^3$ .

Este tipo de argumento es un poco manoseado, y (en principio) podría estallar si las derivadas temporales de $\theta_{1,2}$ eran grandes - en algún momento, es posible que desee consultar algunos libros sobre la teoría de la perturbación en un sentido más formal.

Answer 2

Creo que hacer la aproximación a nivel lagrangiano es el método correcto.

El Lagrangiano es importante, porque tiene un impacto directo sobre las cantidades conservadas en virtud del teorema de Noether.

Hacer la aproximación a nivel lagrangiano, te asegura, que las ecuaciones de movimiento, y la lagrangiana son compatibles y coherentes, y que las cantidades conservadas globales de Noether, son de hecho, fácilmente obtenidas de las ecuaciones de movimiento.