¿Comprensión intuitiva de las irreps como la matriz Wigner-D?

Question

Wikipedia define la matriz D de Wigner como una representación irreducible de los grupos SU(2) y SO(3). ¿Cuál es una buena manera de visualizar esta representación? ¿Existe algún sistema físico que se pueda tener en cuenta como ejemplo sencillo de la misma?

Se agradecería una explicación general de la idea de irreps, más allá de la matriz Wigner-D.

Answer 1

¿Existe algún sistema físico que se pueda tener en cuenta como ejemplo sencillo del mismo?

Sí. Considere un solo giro $1/2$ partícula, como un electrón. En este caso, la matriz será $2$ -por- $2$ ya que es una representación de $\mathrm{SU}(2)$ actuando en el espín bidimensional $1/2$ Espacio de Hilbert. La idea aquí es que cuando se gira el sistema físico por una rotación $R$ digamos, entonces el estado de espín también "rota" (los estados en el espacio de Hilbert "rotan" entre sí si se quiere) como sigue: \begin{align} |\tfrac{1}{2},m'\rangle\longrightarrow D^{1/2}_{m,m'}|\tfrac{1}{2},m'\rangle \end{align} De hecho, para una rotación en un ángulo $\theta$ sobre el vector unitario $\mathbf n = (n_x, n_y, n_z)$ tenemos \begin{align} (D^{1/2}_{m,m'})=\begin{pmatrix} \cos\frac{\theta}{2}-in_z\sin\frac{\theta}{2} & (-n_y-in_x)\sin\frac{\theta}{2} \\ (n_y-in_x)\sin\frac{\theta}{2} & \cos\frac{\theta}{2}+in_z\sin\frac{\theta}{2} \\ \end{pmatrix} \end{align} para que cuando $\theta = 0$ es la matriz de identidad; no le pasa nada al estado, mientras que cuando $\theta = 2\pi$ (una rotación completa), esta matriz es $-1$ veces la identidad, por lo que el estado gira en sí mismo multiplicado por $-1$ bastante extraño, ¿no es así?

Se agradecería una explicación general de la idea de irreps, más allá de la matriz Wigner-D.

Esta es una pregunta muy amplia. La idea general de una representación de un grupo $G$ es que es un mapeo que asigna una matriz invertible $D(g)$ a cada elemento del grupo $g$ tal que la estructura de grupo se conserva (el término técnico para esto es que es un homomorfismo de grupo). Se dice que la representación es irreducible si no tiene subespacios invariantes no triviales. Concretamente, esto significa que no hay ninguna transformación de similitud que ponga todas las matrices de la representación en forma de diagonal de bloque.